Laplace-Transformation-Rechner
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Ergebnis
Bestimme die Laplace-Transformierte einer Funktion aus gängigen Termen: Potenzen von t, Exponentialfunktionen, Sinus und Kosinus (mit Phase), sinh und cosh, verschobenen Sprungfunktionen u(t − c) und Impulsen δ(t − c). Der Rechner transformiert jeden Term mit der Standardtabelle und den Verschiebungssätzen, zeigt, welche Einträge er verwendet hat, und liefert F(s) mit seinem Konvergenzbereich.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Jeden Term transformieren
Verwendete Tabelleneinträge
Die Transformierten addieren (Linearität)
So findest du eine Laplace-Transformierte mit der Tabelle
- Zerlege f(t) in eine Summe von Termen; die Laplace-Transformation ist linear.
- Verwende die Grundpaare: L{tⁿ} = n!/sⁿ⁺¹, L{sin ωt} = ω/(s² + ω²) und L{cos ωt} = s/(s² + ω²).
- Die Multiplikation mit e^(at) verschiebt s: L{e^(at) f(t)} = F(s − a).
- Ein verzögerter Term g(t)·u(t − c) wird zu e^(−cs)·L{g(t + c)} transformiert.
- Addiere die Transformierten der Terme; F(s) existiert für Re(s) größer als der größte Exponent a.
Fragen und Antworten
Wie tippe ich f(t) ein?
Zum Beispiel 3t^2 e^(-2t) + 5sin(4t) - 2e^(-t)cos(3t) + 4u(t-1). Verwende ^ für Potenzen, e^(at) oder exp(at) für Exponentialfunktionen, u(t-c) für einen Sprung und δ(t-c) oder delta(t-c) für einen Impuls. Eine Phase ist erlaubt, wie in sin(2t + 1).
Was ist der Unterschied zwischen t·u(t − 1) und (t − 1)·u(t − 1)?
Die zweite ist eine verzögerte Rampe und wird zu e^(−s)/s² transformiert. Die erste ist t·u(t − 1) = ((t − 1) + 1)·u(t − 1) und wird zu e^(−s)(1/s² + 1/s) transformiert. Der Rechner behandelt beide, indem er g(t + c) schreibt.
Wie werden t·sin(ωt) und t·cos(ωt) transformiert?
Über L{tⁿ e^(jωt)} = n!/(s − jω)ⁿ⁺¹: Der Imaginärteil ergibt den Sinus und der Realteil den Kosinus, zum Beispiel L{t sin ωt} = 2ωs/(s² + ω²)².
Was ist der Konvergenzbereich?
Die Werte von s, für die das Transformationsintegral konvergiert: Re(s) größer als die größte Wachstumsrate in f(t). Für e^(3t) ist das Re(s) > 3.
Kann ich ein Produkt zweier Sinusfunktionen eingeben?
Nicht direkt. Schreibe es zuerst mit einer Produkt-Summen-Formel um, zum Beispiel sin(at)·cos(bt) = ½[sin((a + b)t) + sin((a − b)t)].
Übe es selbst
Laplace-Transformationen üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.