Rechner für die inverse Laplace-Transformation (Partialbruchzerlegung)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Bestimme die inverse Laplace-Transformierte einer rationalen Funktion F(s) = N(s)/D(s). Gib die Koeffizienten von Zähler und Nenner ein, höchste Potenz von s zuerst. Der Rechner kürzt gemeinsame Faktoren, dividiert einen unechten Bruch aus, bestimmt die Pole, berechnet jeden Koeffizienten der Partialbruchzerlegung (für einfache, mehrfache und komplexe Pole) und schreibt f(t) als Summe von Exponentialfunktionen, Potenzen von t, Sinus- und Kosinusfunktionen.
Schritt-für-Schritt-Lösung
F(s) als Quotient von Polynomen schreiben
Pole: Nullstellen des Nenners
Partialbruchzerlegung
Verwendete Transformationspaare
Inverse Laplace-Transformation
So findest du eine inverse Laplace-Transformierte mit der Partialbruchzerlegung
- Stelle sicher, dass F(s) ein echter Bruch ist: Ist der Grad des Zählers nicht kleiner als der des Nenners, dividiere zuerst. Der Polynomanteil liefert Impulse δ(t), δ′(t) und so weiter.
- Faktorisiere den Nenner, um die Pole zu finden: Ein reeller Pol a ergibt einen Faktor (s − a), ein komplexes Paar a ± bj ergibt (s − a)² + b².
- Schreibe F(s) als Summe von Partialbrüchen und bestimme die Koeffizienten. Für einen einfachen Pol gilt A = [(s − a)·F(s)] bei s = a (Zuhaltemethode); mehrfache Pole erfordern Ableitungen.
- Transformiere jeden Summanden mit der Tabelle: 1/(s − a) ↔ e^(at), 1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)! und (s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- Addiere die Summanden, um f(t) für t ≥ 0 zu erhalten.
Fragen und Antworten
Wie gebe ich F(s) ein?
Tippe die Koeffizienten jedes Polynoms von der höchsten Potenz von s abwärts ein, durch Leerzeichen getrennt, mit Nullen für fehlende Potenzen. (s + 3)/(s² + 3s + 2) ist Zähler 1 3 und Nenner 1 3 2; 1/(s³ + 4s) ist Zähler 1 und Nenner 1 0 4 0. Brüche wie 1/2 und Dezimalzahlen sind erlaubt.
Was ist die Zuhaltemethode?
Multipliziere für einen einfachen Pol bei s = a die Funktion F(s) mit (s − a), kürze und setze s = a ein. Für F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) ergibt das 2/1 = 2 bei s = −1 und 1/(−1) = −1 bei s = −2, also f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
Wie werden komplexe Pole behandelt?
Ein Polpaar a ± bj ergibt einen Term (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), dessen Rücktransformierte e^(at)·(B cos bt + C sin bt) ist. Der Rechner bestimmt B und C aus dem komplexen Koeffizienten A bei a + bj: B = 2·Re A und C = −2·Im A.
Was ist, wenn der Grad des Zählers zu hoch ist?
Dann ist F(s) ein unechter Bruch. Die Polynomdivision liefert F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Das Polynom Q(s) wird in Impulse transformiert: Eine Konstante c ergibt c·δ(t), c·s ergibt c·δ′(t) und so weiter. Der echte Anteil R(s)/D(s) wird wie üblich in Partialbrüche zerlegt.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Gemeinsame und mehrfache Faktoren werden mit Brüchen exakt gefunden. Die Nullstellen und Koeffizienten werden dann numerisch auf etwa 14 Stellen berechnet und mit 4 signifikanten Stellen angezeigt, sodass irrationale Pole, etwa die von s² + s + 1, als Dezimalzahlen erscheinen.
Warum gilt f(t) nur für t ≥ 0?
Die einseitige Laplace-Transformation verwendet nur die Werte von f für t ≥ 0. Genau genommen ist das Ergebnis f(t)·u(t), wobei u die Einheitssprungfunktion ist, also f(t) = 0 für t < 0.
Übe es selbst
Laplace-Transformationen üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.