Ingenieurmathematik 2: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Der zweite Mathematikkurs für Ingenieure: Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Matrizen und Vektoren, Integrationstechniken mit Rotationsvolumen, partielle Ableitungen und Doppelintegrale, Reihen und Taylor-Polynome, die Laplace-Transformation und die Faltung. Das sind die Werkzeuge, auf denen Kurse zu Schaltungen, Schwingungen und Regelungstechnik aufbauen.

Diesen Kurs kostenlos übenDiesen Kurs übenProbeklausur schreibenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Differentialgleichungenexponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall · Newtonsches Abkühlungsgesetz · lineare DGL erster OrdnungRechenaufgaben
  2. Matrizen & Determinanten2×2-Determinante · 3×3 und Produkte · Eigenwerte und GleichungssystemeRechenaufgaben
  3. Vektoren: Skalar- und KreuzproduktBetrag und Komponenten · Skalarprodukt · Kreuzprodukt und MomenteRechenaufgaben
  4. IntegralePolynome · Exponential, Logarithmus und Substitution · Flächen zwischen KurvenRechenaufgaben
  5. Analysis mehrerer Variablenpartielle Ableitungen und Doppelintegrale · Gradient, Tangentialebene und Kettenregel · kritische Punkte und Integrale über BereicheRechenaufgaben
  6. Folgen & Reihenarithmetische und geometrische Reihen · Konvergenz und Potenzreihen · Taylor- und Maclaurin-PolynomeRechenaufgaben
  7. Laplace-TransformationenTabellenpaare und Wertesätze · Rücktransformation durch Partialbruchzerlegung · Differentialgleichungen und ÜbertragungsfunktionenRechenaufgaben
  8. Faltung und LTI-Systemediskrete Faltung · kontinuierliche Faltung · Impulsantwort und Fourier-ReiheRechenaufgaben

Prüfungstipps für Ingenieurmathematik 2

  • Schreibe bei einer linearen DGL zuerst die charakteristische Gleichung auf: Ihre Wurzeln bestimmen die Form der Lösung.
  • Wähle u bei der partiellen Integration als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird.
  • Verwende eine Laplace-Tabelle und Partialbruchzerlegung, statt die Transformierte von Hand zu integrieren.

Beispielaufgaben

DifferentialgleichungenLeicht
rr² + br + c?

Bestimme für die Gleichung y″ + 4y′ + 3y = 0 die Wurzel r der charakteristischen Gleichung, die am nächsten bei null liegt. Sie bestimmt, wie langsam die Lösung abklingt.

y″ + 4y′ + 3y = 0

Gesucht: r

Tipps anzeigen
  1. Setze y = ert ein.
  2. r² + 4r + 3 = 0.
  3. Zerlege in Faktoren oder verwende die Lösungsformel für quadratische Gleichungen.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Lineare Gleichungen zweiter Ordnung: Für y″ + b·y′ + c·y = 0 mache den Ansatz y = ert: Das ergibt die charakteristische Gleichung r² + b·r + c = 0. Zwei reelle Wurzeln r₁ ≠ r₂ ergeben y = A·er₁t + B·er₂t (überdämpft); eine doppelte Wurzel r ergibt y = (A + Bt)·ert (aperiodischer Grenzfall); komplexe Wurzeln −α ± jω ergeben y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (unterdämpft, schwingend). Die Anfangswerte y(0) und y′(0) legen A und B fest. In der Form y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 ist ωn die Eigenfrequenz und ζ der Dämpfungsgrad: Für ζ < 1 schwingt das System. Bei konstanter Eingangsgröße, y″ + by′ + cy = c·K, ist die Lösung der stationäre Wert K plus die freie Antwort.

Charakteristische Gleichung

r² + 4r + 3 = (r + 1)(r + 3) = 0

Wurzeln

r = −1, r = −3
am nächsten bei null: r = −1

Antwort

r = −1

Die allgemeine Lösung ist y = A·e−1t + B·e−3t.

Matrizen & DeterminantenMittel
A =−153−5−1−3−513

Bestimme die Determinante det A der gezeigten 3×3-Matrix A.

A = [−1 5 3; −5 −1 −3; −5 1 3]

Gesucht: det A

Tipps anzeigen
  1. Entwickle nach der ersten Zeile mit den Vorzeichen + − +.
  2. Jeder Term ist ein Eintrag mal die 2×2-Determinante, die übrig bleibt, wenn du seine Zeile und Spalte streichst.
  3. Minoren: 0, −30, −10.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Matrizen: Die Determinante einer 2×2-Matrix ist ad − bc. Bei 3×3 entwickelst du nach einer Zeile: jeder Eintrag mal die Determinante der 2×2-Matrix, die nach Streichen seiner Zeile und Spalte übrig bleibt, mit abwechselnden Vorzeichen + − +. Eigenwerte λ lösen det(A − λI) = 0; für 2×2 ist das λ² − (Spur)·λ + det = 0.

2×2-Minoren der ersten Zeile

M₁₁ = 0, M₁₂ = −30, M₁₃ = −10

Laplace-Entwicklung

det A = (−1)·0 − 5·(−30) + 3·(−10) = 120

Antwort

det A = 120

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für die inverse Laplace-Transformation (Partialbruchzerlegung)Laplace-Transformation-RechnerRechner für Determinante und Inverse einer MatrixEigenwerte- und Eigenvektoren-RechnerRechner für Halbwertszeit und exponentiellen ZerfallLöser für lineare Gleichungssysteme (2×2 und 3×3)Integralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)

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