Vektoren: Skalar- und Kreuzprodukt von Grund auf lernen
1Was ein Vektor ist
Manche Größen brauchen nur eine Zahl: eine Masse von 5 kg oder eine Temperatur von 20 °C. Das sind Skalare.
Andere Größen brauchen auch eine Richtung. Eine Kraft von 40 N nach oben ist etwas ganz anderes als 40 N zur Seite. Das sind Vektoren.
Du beschreibst einen Vektor durch seine Komponenten: wie weit er entlang x, entlang y und entlang z reicht. Der Vektor a = (4, 3, 0) reicht 4 Einheiten entlang x, 3 entlang y und 0 entlang z.
Kräfte, Verschiebungen und Geschwindigkeiten sind alle Vektoren. Ingenieure verwenden Vektorrechnung, um Kräfte zu addieren, Winkel zu bestimmen und Momente in drei Dimensionen zu berechnen.
Vektoren werden komponentenweise addiert: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). So findest du die Resultierende mehrerer Kräfte.
Selbsttest Wie lang ist der Vektor a = (3, 4, 0)?
- 1
- 25
- 5
- 7
Antwort: 5. Die Länge ist √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Die Komponenten zu addieren (7) ist falsch, weil sie senkrecht aufeinander stehen, und 25 vergisst die Wurzel.
2Länge, Richtung und Komponenten
Der Betrag |a| ist die Länge des Vektors. Es ist der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen:
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und zeigt in dieselbe Richtung. Du erhältst ihn, indem du jede Komponente durch den Betrag teilst:
û = a / |a|
Für a = (0, 3, 4) ist der Betrag 5, also û = (0, 0,6, 0,8). Probe: 0,6² + 0,8² = 1.
Eine Kraft in der xy-Ebene wird oft als Größe F und Winkel θ angegeben, gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen. Ihre Komponenten sind:
Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ
Kosinus und Sinus liefern die Vorzeichen automatisch. Eine Kraft unter 120° hat eine negative x-Komponente, weil cos 120° = −0,5.
Beim Zurückgehen von Komponenten zu einem Winkel liefert arctan(Ry/Rx) nur Ergebnisse zwischen −90° und 90°. Ist Rx negativ, addiere 180°. Ist nur Ry negativ, addiere 360°.
Selbsttest Wie groß ist die y-Komponente des Einheitsvektors in Richtung a = (0, 3, 4)?
- 0,12
- 0,43
- 0,6
- 3
Antwort: 0,6. Teile durch den Betrag 5: 3/5 = 0,6. 3 vergisst die Division, 0,12 teilt durch |a|² = 25, und 0,43 teilt durch die Summe der Komponenten (7).
3Das Skalarprodukt und das Kreuzprodukt
Es gibt zwei Arten, zwei Vektoren zu multiplizieren. Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl. Das Kreuzprodukt ergibt einen neuen Vektor.
a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ
Hier ist θ der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Das Skalarprodukt misst, wie sehr die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Es ist null, wenn sie senkrecht aufeinander stehen.
- Der Winkel: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
- Die skalare Projektion von a auf b (der Teil von a entlang b): a·b / |b|.
- Die Arbeit einer konstanten Kraft über eine Verschiebung: W = F·d.
- Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn a·b = 0.
Das Kreuzprodukt a × b ist ein Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Seine Länge ist gleich der Fläche des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen.
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Für a = (1, 2, 0) und b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Das Parallelogramm hat die Fläche 5 und das Dreieck die Hälfte davon, 2,5.
Die Reihenfolge zählt: b × a = −(a × b). Das Moment einer Kraft F, die im Punkt A angreift, um den Punkt O ist M = r × F, mit r = A − O.
Selbsttest Für a = (2, 1, 0) und b = (1, 4, 0): Wie groß ist die z-Komponente von a × b?
- 6
- 7
- 9
- −7
Antwort: 7. z-Komponente = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 ist b × a (die Reihenfolge vertauscht), 6 ist das Skalarprodukt, und 9 addiert die beiden Produkte, statt sie zu subtrahieren.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
- Schreibe jeden Vektor in Komponenten. Für eine Kraft, die durch Größe und Winkel gegeben ist, verwende F·cos θ und F·sin θ.
- Gibt die Aufgabe Punkte an, bilde die Vektoren daraus: Der Vektor von A nach B ist B − A.
- Entscheide, welches Werkzeug du brauchst. Längen und Richtungen: Betrag und Einheitsvektor. Winkel, Projektionen und Arbeit: Skalarprodukt. Flächen, senkrechte Vektoren und Momente: Kreuzprodukt.
- Schreibe zuerst die Formel auf und setze dann die Zahlen Komponente für Komponente ein. Setze die Vorzeichen in Klammern.
- Prüfe das Ergebnis: Ein Einheitsvektor hat die Länge 1, a × b steht senkrecht auf a (also a·(a × b) = 0), und ein Winkel zwischen Vektoren liegt zwischen 0° und 180°.
Für einen Einheitsvektor senkrecht zu zwei Vektoren nimm n = a × b und teile ihn durch seine Länge. Verlangt die Aufgabe eine positive z-Komponente und deine ist negativ, kehre alle Vorzeichen um.
Das Volumen des Quaders (Spats, Parallelepipeds) mit den Kanten a, b und c ist |a·(b × c)|: zuerst das Kreuzprodukt, dann das Skalarprodukt.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes BeispielEine konstante Kraft F = (6, 2, −3) N schiebt einen Körper geradlinig vom Punkt A(1, 0, 2) zum Punkt B(3, 4, 2). Die Koordinaten sind in Metern. Bestimme die von der Kraft verrichtete Arbeit W und den Winkel θ zwischen der Kraft und der Verschiebung.
1Die Verschiebung ist der Vektor von A nach B: Ziehe den Anfang vom Ende ab.
d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2Arbeit ist das Skalarprodukt von Kraft und Verschiebung. Multipliziere gleichliegende Komponenten und addiere.
W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4Verwende die andere Form des Skalarprodukts, F·d = |F|·|d|·cos θ, und löse nach cos θ.
cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5Die Arbeit ist positiv, der Winkel muss also kleiner als 90° sein. Das ist er.
Der Anteil der Kraft entlang der Bewegung ist |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Mal der Strecke 4,472 m ergibt das wieder 20 J.
Antwort W = 20 J und θ ≈ 50,3°.
6Häufige Fehler
- Beträge statt Komponenten addieren. Zwei Kräfte von 3 N und 4 N im rechten Winkel ergeben 5 N, nicht 7 N.
- Bei einem Moment die Koordinaten des Punktes statt r = A − O verwenden.
- Das Vorzeichen der mittleren (y-)Komponente eines Kreuzprodukts falsch setzen. Sie ist azbx − axbz, nicht umgekehrt.
- Die Reihenfolge in einem Kreuzprodukt vertauschen. b × a zeigt in die entgegengesetzte Richtung wie a × b.
- arctan für eine Richtung verwenden, ohne zu prüfen, in welchem Quadranten der Vektor liegt.
- Das ½ für die Fläche eines Dreiecks vergessen: Sie ist die Hälfte von |AB × AC|.
Selbsttest Eine Kraft F = (0, 10, 0) N greift im Punkt A(3, 0, 0) m an. Wie groß ist ihr Moment um O(1, 0, 0) m?
- 10 N·m
- 20 N·m
- 30 N·m
- 40 N·m
Antwort: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, also M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Verwendet man den Punkt A selbst als r, erhält man 30 N·m, A + O ergibt 40 N·m, und O allein ergibt 10 N·m.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
- Leicht: Betrag und Komponenten. Die Länge eines Vektors, eine Komponente eines Einheitsvektors, eine Komponente einer durch Größe und Winkel gegebenen Kraft oder der Betrag oder die Richtung der Resultierenden zweier Kräfte.
- Mittel: das Skalarprodukt. Ein Skalarprodukt, der Winkel zwischen zwei Vektoren, eine skalare Projektion, die Arbeit einer Kraft zwischen zwei Punkten oder der Wert von k, der zwei Vektoren senkrecht macht.
- Schwer: das Kreuzprodukt und Momente. Eine Komponente von a × b, die Fläche eines Parallelogramms oder Dreiecks, das Moment einer Kraft um einen Punkt, ein Einheitsnormalenvektor oder das Volumen eines Quaders aus einem Spatprodukt.
Setze bei einer Frage nach Orthogonalität a·b = 0. Das ergibt eine lineare Gleichung in k.
Verwende bei einem Dreieck mit den Ecken A, B und C die Kantenvektoren AB = B − A und AC = C − A. Die Fläche ist ½·|AB × AC|.
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