Optimierung: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Kostenlose Übungsaufgaben zu Optimierung mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: maximaler Flächeninhalt oder maximales Volumen, minimale Kosten oder minimaler Materialverbrauch, Gewinn und Umsatz.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Landwirt hat 240 m Zaun, um ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss einzuzäunen. Entlang des Flusses wird kein Zaun gebraucht. Bestimme den größten Flächeninhalt A, der eingezäunt werden kann.
Optimierung heißt, den besten Wert zu finden: die größte Fläche bei gegebener Zaunlänge, das wenigste Metall für eine Dose oder den höchsten Gewinn.
Die Größe, die du so groß oder so klein wie möglich machen willst, hängt von einer Variablen ab, zum Beispiel der Breite x eines Feldes.
Stell dir ihren Graphen vor. Auf dem Gipfel eines Hügels und am Grund eines Tals ist der Graph für einen Moment flach. Die Steigung ist dort also null.
Das ist die Kernidee: Bei einem Maximum oder Minimum ist die Ableitung 0. Du findest das beste x, indem du Q′(x) = 0 löst.
Selbsttest Die Fläche A(x) eines Feldes hat ihren größten Wert bei x = 12. Was ist A′(12)?
0
Dasselbe wie A(12)
Eine negative Zahl
Eine positive Zahl
Antwort: 0. Oben am Graphen ist die Tangente waagerecht, die Steigung ist also 0. Eine positive Steigung würde bedeuten, dass die Fläche noch wächst.
2Das Ziel und die Nebenbedingung
Jede Optimierungsaufgabe hat zwei Teile. Benenne sie, bevor du etwas rechnest.
Das Ziel: die Größe, die maximiert oder minimiert werden soll, etwa eine Fläche A oder Kosten C.
Die Nebenbedingung: eine feste Bedingung, etwa die Gesamtlänge des Zauns oder das Volumen, das eine Dose fassen muss.
Das Ziel hat meist zwei Variablen, zum Beispiel A = x · y. Das kannst du noch nicht ableiten.
Nutze die Nebenbedingung, um y durch x auszudrücken. Dann hängt das Ziel nur noch von x ab.
Beispiel: Ein Rechteck mit einem Umfang von 20 m hat 2x + 2y = 20, also y = 10 − x und A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Zeichne zuerst eine Skizze und schreibe jede Länge hinein. Die meisten Fehler passieren bei der Nebenbedingung.
Selbsttest Ein Feld an einem Fluss wird auf drei Seiten mit 40 m Zaun umzäunt: zwei Seiten der Länge x und eine Seite y parallel zum Fluss. Wie lautet die Nebenbedingung?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Antwort: 2x + y = 40. Es gibt drei Zäune: x, x und y. Die Flussseite braucht keinen Zaun. 2x + 2y wäre ein vollständiges Rechteck mit vier umzäunten Seiten.
3Kosten- und Gewinnaufgaben
Bei Wirtschaftsaufgaben ist das Ziel der Gewinn: Erlös minus Kosten.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Hier ist q die Zahl der verkauften Einheiten und p der Preis pro Einheit. Hängt der Preis von q ab, setze diese Formel zuerst in R ein.
Beispiel: Der Preis ist p = 60 − q und die Kosten sind C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Der beste Preis ist dann p = 60 − 15 = 45 €. Lies die Frage genau: Sie kann nach q, p oder dem Gewinn P selbst fragen.
Selbsttest Ein Produkt wird für 40 € pro Einheit verkauft. Die Kosten für q Einheiten sind C = 100 + 10q + 0,5q² Euro. Welche Menge q ergibt den höchsten Gewinn?
15
30
40
60
Antwort: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², also P′ = 30 − q = 0 und q = 30. Wer beim Ableiten von 0,5q² die 2 vergisst, erhält 60.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Zeichne eine Skizze und benenne die Variablen.
Schreibe das Ziel Q (Fläche, Kosten, Gewinn) und die Nebenbedingung auf.
Nutze die Nebenbedingung, um Q als Funktion einer Variablen zu schreiben, Q(x).
Leite ab und löse Q′(x) = 0.
Prüfe, ob es die richtige Art von Punkt ist: Q″ < 0 für ein Maximum, Q″ > 0 für ein Minimum.
Beantworte die gestellte Frage: x, die andere Seite oder den besten Wert von Q selbst, mit Einheiten.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Ein Landwirt hat 60 m Zaun für ein rechteckiges Feld an einem geraden Fluss. Am Fluss ist kein Zaun nötig. Bestimme die Seite y parallel zum Fluss und die größte Fläche A.
1
Skizze und Nebenbedingung
Der Fluss liegt oben, es brauchen also nur drei Seiten Zaun: zwei Seiten x und eine Seite y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Fläche mit einer Variablen
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Ableitung gleich null setzen
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Ist es ein Maximum?
A″(x) = −4 < 0
Die zweite Ableitung ist negativ, daher ergibt x = 15 m die größte Fläche.
5
Andere Seite und Flächeninhalt
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Antwort prüfen
Probiere auf jeder Seite einen Wert. x = 14 ergibt 14 · 32 = 448 m², und x = 16 ergibt 16 · 28 = 448 m². Beide sind kleiner als 450 m².
Antwort
y = 30 m und die größte Fläche ist A = 450 m².
6Häufige Fehler
Die Antwort für die falsche Größe geben: Die Frage verlangt y, und du gibst x an.
Ein Ziel ableiten, das noch zwei Variablen hat. Nutze zuerst die Nebenbedingung.
Die falsche Nebenbedingung aufschreiben, zum Beispiel auch die Flussseite umzäunen.
Nicht prüfen, ob der Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist.
Einheiten vergessen oder eine Fläche in m statt in m² angeben.
Selbsttest Mit 40 m Zaun an einem Fluss (2x + y = 40) ist die beste Breite x = 10 m. Die Frage verlangt die Seite y parallel zum Fluss. Was antwortest du?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Antwort: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Die Antwort 10 m gibt x statt y an, und 200 m² ist die Fläche, keine Seite.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: maximale Fläche oder maximales Volumen, etwa ein Feld an einem Fluss oder ein durch einen zusätzlichen Zaun geteiltes Gehege.
Mittel: minimale Kosten oder minimales Material, etwa eine geschlossene Dose (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) oder ein Zaun mit zwei Preisen pro Meter.
Schwer: Gewinn und Erlös. Stelle P = R − C auf, löse P′(q) = 0 und bestimme dann den Preis oder den maximalen Gewinn.
Eine schnelle Probe: Setze einen Wert etwas über und etwas unter deiner Antwort in Q ein. Beide sollten schlechter sein.
Aus einem quadratischen Stück Pappe von 18 cm × 18 cm wird eine offene Schachtel hergestellt, indem man an den vier Ecken gleich große Quadrate der Seitenlänge x ausschneidet und die Seiten hochklappt. Bestimme das größtmögliche Volumen V.
18 cm × 18 cm
Gesucht: V(cm³)
Tipps anzeigen
Die Grundfläche misst (18 − 2x) mal (18 − 2x), und die Höhe ist x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Nur eine Nullstelle mit 0 < x < 9 ist sinnvoll.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
Volumen als Funktion von x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Ableitung gleich null setzen
Die größere Nullstelle ergibt eine Grundseite ≤ 0, liegt also außerhalb des zulässigen Bereichs.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 oder x = 9
x = 3 cm
Volumen
V = 3·12·12 = 432 cm³
Antwort
V = 432 cm³
Beispiel 2Mittel
Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 400 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die kleinstmögliche Oberfläche A.
V = 400 cm³
Gesucht: A(cm²)
Tipps anzeigen
Eliminiere h mit dem Volumen: πr²h = 400, also h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
Oberfläche als Funktion von r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Ableitung gleich null setzen
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, also ist das ein Minimum.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Höhe und Oberfläche
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Antwort
A = 300,5 cm²
Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.
Beispiel 3Schwer
Ein Theater verkauft pro Vorstellung 580 Karten zu je 10 €. Laut Marktforschung werden bei jeder Preiserhöhung um 1 € 20 Karten weniger verkauft (und bei jeder Senkung um 1 € 20 mehr). Bestimme den maximalen Umsatz R pro Vorstellung.
580 × €1020 / €1
Gesucht: R(€)
Tipps anzeigen
Beim Preis p verkaufte Karten: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
R′(p) = 780 − 40p = 0.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
Umsatz als Funktion des Preises
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Ableitung gleich null setzen
R″(p) = −40 < 0, also ist das ein Maximum.
p = 780/40 = €19,5
Maximaler Umsatz
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Antwort
R = €7605
Fragen und Antworten
Optimierung: Worum geht es?
Optimierung heißt, den besten Wert zu finden: die größte Fläche bei gegebener Zaunlänge, das wenigste Metall für eine Dose oder den höchsten Gewinn.
Die Größe, die du so groß oder so klein wie möglich machen willst, hängt von einer Variablen ab, zum Beispiel der Breite x eines Feldes.
Optimierung: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
Optimierung: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Jede Seite der Grundfläche verliert an beiden Enden ein Quadrat, die Grundseiten sind also a − 2x und b − 2x, nicht a − x und b − x.
Die Dose ist geschlossen: Zähle Deckel und Boden mit, A = 2πr² + 2πrh.
Das ist der Umsatz beim aktuellen Preis. Bestimme zuerst den Preis, bei dem R′(p) = 0 ist.
Optimierung: Was wird geübt?
Leicht: maximaler Flächeninhalt oder maximales Volumen
Mittel: minimale Kosten oder minimaler Materialverbrauch
Schwer: Gewinn und Umsatz
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.