Hypothesentests & Konfidenzintervalle: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Signifikanztest · t-Test · p-Wert
Kostenlose Übungsaufgaben zu Hypothesentests & Konfidenzintervalle mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: z-Statistik, t-Statistik, Konfidenzintervalle.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Lieferant behauptet, dass die mittlere Bruchkraft eines Kabels 50 kN beträgt; du vermutest, dass sie höher ist. Die Standardabweichung ist bekanntermaßen 8 kN. Du nimmst eine Stichprobe von 25 Kabeln und testest H₀: μ = 50 kN gegen H₁: μ > 50 kN bei α = 0,05. Oberhalb welches Stichprobenmittelwerts x̄c verwirfst du H₀?
Eine Maschine soll Flaschen im Mittel mit 500 mL füllen. Eine Stichprobe von Flaschen hat einen Mittelwert von 496 mL. Ist die Maschine falsch eingestellt, oder ist das nur Zufall?
Ein Hypothesentest beantwortet diese Frage mit Zahlen. Du gehst von zwei Aussagen aus:
Die Nullhypothese H₀: Nichts hat sich geändert. Hier H₀: μ = 500.
Die Alternativhypothese H₁: Das, was du vermutest. Hier H₁: μ ≠ 500 (zweiseitig) oder μ < 500, wenn dich nur Unterfüllung interessiert (einseitig).
Du nimmst an, dass H₀ wahr ist, und fragst: Wie ungewöhnlich ist diese Stichprobe? Wäre sie sehr ungewöhnlich, verwirfst du H₀.
Selbsttest Ein Lieferant behauptet, seine Widerstände hätten im Mittel 220 Ω. Du willst diese Behauptung testen. Was ist H₀?
x̄ = 220 Ω
μ > 220 Ω
μ = 220 Ω
μ ≠ 220 Ω
Antwort: μ = 220 Ω. H₀ ist die zu testende Behauptung über den Mittelwert μ der Grundgesamtheit. μ ≠ 220 Ω ist die Alternative H₁, und eine Hypothese betrifft nie den Stichprobenmittelwert x̄, den du ja schon kennst.
2Die Teststatistik
Die Teststatistik misst, wie weit der Stichprobenmittelwert von μ₀, dem Wert in H₀, entfernt liegt, in Einheiten des Standardfehlers.
z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)
Verwende z, wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist. Ist nur die Stichprobenstandardabweichung s bekannt, verwende t:
t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1
Ein Wert von z oder t nahe 0 bedeutet, dass die Stichprobe zu H₀ passt. Ein großer positiver oder negativer Wert bedeutet, dass die Stichprobe weit von μ₀ entfernt ist.
Selbsttest H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 und x̄ = 118. Wie groß ist z?
1
−0,25
−1
−4
Antwort: −1. Der Standardfehler ist 8/√16 = 2, also z = (118 − 120)/2 = −1. Die Division durch σ = 8 statt durch σ/√n ergibt −0,25. Das Vorzeichen ist negativ, weil x̄ unter μ₀ liegt.
3Entscheiden: kritische Werte und p-Werte
Lege, bevor du die Daten ansiehst, das Signifikanzniveau α fest, meist 0,05. Es ist das Risiko, das du eingehst, ein wahres H₀ zu verwerfen.
Einseitig (H₁: μ > μ₀): Verwirf H₀, wenn z > 1,645. Für μ < μ₀: Verwirf, wenn z < −1,645.
Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit für ein mindestens so extremes Ergebnis, wenn H₀ wahr ist. Verwirf H₀, wenn p < α.
Wird H₀ nicht verworfen, ist sie damit nicht bewiesen. Es heißt nur, dass die Daten nicht stark genug gegen sie sprechen.
Ein Test und ein Konfidenzintervall stimmen überein: Ein zweiseitiger Test bei 5 % verwirft H₀ genau dann, wenn μ₀ außerhalb des 95-%-Intervalls x̄ ± 1,96 · σ/√n liegt.
Selbsttest Ein zweiseitiger z-Test bei α = 0,05 ergibt z = 1,8. Was folgerst du?
H₀ ist als wahr bewiesen
H₀ nicht verwerfen
H₀ verwerfen
H₁ verwerfen und H₀ als bewiesen annehmen
Antwort: H₀ nicht verwerfen. |1,8| ist kleiner als 1,96, das Ergebnis ist also nicht signifikant, und H₀ wird nicht verworfen. Das beweist H₀ nicht; die Belege sind nur nicht stark genug.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Wähle z (σ bekannt) oder t (nur s bekannt, df = n − 1).
Berechne den Standardfehler σ/√n oder s/√n.
Berechne die Teststatistik (x̄ − μ₀) / Standardfehler.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Formuliere die Schlussfolgerung in Worten, bezogen auf die Fragestellung.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
Eine Maschine soll Flaschen im Mittel mit 500 mL füllen. σ = 12 mL. Eine Stichprobe von 36 Flaschen hat einen Mittelwert von 496 mL. Teste H₀: μ = 500 gegen H₁: μ ≠ 500 bei α = 0,05.
1
Hypothesen
H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Das ist zweiseitig, die kritischen Werte sind also ±1,96.
2
Standardfehler
σ ist bekannt, also verwende z.
σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3
Teststatistik
z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4
Vergleichen
|−2| = 2 ist größer als 1,96, also liegt z im schattierten Ablehnungsbereich.
5
Mit einem Intervall prüfen
496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]
Der Wert 500 liegt außerhalb des 95-%-Intervalls, das Intervall führt also zur selben Entscheidung.
Antwort
z = −2. Verwirf H₀ auf dem 5-%-Niveau: Die mittlere Füllmenge der Maschine weicht von 500 mL ab.
6Häufige Fehler
Einen einseitigen kritischen Wert (1,645) für einen zweiseitigen Test verwenden oder umgekehrt.
Sagen, H₀ sei bewiesen, wenn H₀ nicht verworfen wird.
√n im Standardfehler vergessen.
x̄ − μ₀ falsch herum schreiben, wodurch sich das Vorzeichen von z umkehrt.
z verwenden, wenn bei einer kleinen Stichprobe nur das Stichproben-s bekannt ist.
Selbsttest Ein einseitiger Test mit H₁: μ > μ₀ bei α = 0,05 ergibt z = 1,8. Was folgerst du?
H₀ nicht verwerfen, weil 1,8 < 1,96
H₀ nicht verwerfen, weil 1,8 < 2,576
H₀ verwerfen, weil 1,8 > 1,645
H₀ verwerfen, weil z positiv ist
Antwort: H₀ verwerfen, weil 1,8 > 1,645. Einseitig bei 5 % legt die gesamten 5 % in einen Rand, der kritische Wert ist also 1,645. Der Vergleich mit 1,96 verwendet versehentlich den zweiseitigen Wert.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: die z-Statistik. σ ist bekannt; berechne z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
Mittel: die t-Statistik. Nur die Stichprobenstandardabweichung s ist gegeben; berechne t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
Schwer: Konfidenzintervalle. Bestimme die untere oder obere Grenze von x̄ ± z · σ/√n bei 95 % oder 99 %.
Eine schnelle Kontrolle: Liegt x̄ unter μ₀, muss die Teststatistik negativ sein.
Eine Maschine soll Flaschen im Mittel mit 100 mL füllen. Die Standardabweichung ist bekannt und beträgt 4 mL. Eine Stichprobe von 81 Flaschen hat einen Mittelwert von 99,6 mL. Bestimme die Teststatistik z für H₀: μ = 100.
μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81
Gesucht: z
Tipps anzeigen
Der Standardfehler des Mittelwerts ist die Standardabweichung geteilt durch √n.
SE = 4/√81 = 0,4444.
Teile dann die Differenz x̄ − μ₀ durch den Standardfehler. Behalte das Vorzeichen.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Teststatistik
z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9
Antwort
z = −0,9
|z| < 1.96, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) nicht verworfen.
Beispiel 2Mittel
Eine Stichprobe von 64 Studierenden hat einen mittleren Punktwert von 504,5 und eine Stichproben-Standardabweichung von 15. Bestimme die Teststatistik t für H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64
Gesucht: t
Tipps anzeigen
Der Standardfehler des Mittelwerts ist die Standardabweichung geteilt durch √n.
SE = 15/√64 = 1,875.
Teile dann die Differenz x̄ − μ₀ durch den Standardfehler. Behalte das Vorzeichen.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Standardfehler
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Teststatistik
t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4
Antwort
t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, also wird H₀ auf dem 5-%-Niveau (zweiseitig) verworfen.
Beispiel 3Schwer
Eine Stichprobe von 64 Messungen hat den Mittelwert 80. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist 20. Bestimme die untere Grenze L des 99-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.
x̄ = 80σ = 20n = 6499%
Gesucht: L
Tipps anzeigen
Konfidenzintervall: x̄ ± z*·σ/√n.
z* = 2,576 für 99%.
σ/√n = 2,5.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Test eines Mittelwerts: Die Teststatistik misst, wie viele Standardfehler der Stichprobenmittelwert vom in H₀ behaupteten Wert entfernt liegt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), wenn σ bekannt ist, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), wenn es aus der Stichprobe geschätzt wird. Ein Konfidenzintervall ist x̄ ± (kritischer Wert)·(Standardfehler).
Fehlermarge
E = 2,576·20/√64 = 6,44
Intervallgrenze
L = 80 − 6,44 = 73,56
Antwort
L = 73,56
Fragen und Antworten
Hypothesentests & Konfidenzintervalle: Worum geht es?
Eine Maschine soll Flaschen im Mittel mit 500 mL füllen. Eine Stichprobe von Flaschen hat einen Mittelwert von 496 mL. Ist die Maschine falsch eingestellt, oder ist das nur Zufall?
Ein Hypothesentest beantwortet diese Frage mit Zahlen. Du gehst von zwei Aussagen aus:
Hypothesentests & Konfidenzintervalle: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Formuliere H₀ und H₁ und entscheide, ob der Test einseitig oder zweiseitig ist.
Berechne die Teststatistik: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), oder mit s und t.
Vergleiche mit dem kritischen Wert oder bestimme den p-Wert.
Verwirf H₀, wenn die Statistik jenseits des kritischen Werts liegt (p kleiner als α), und formuliere die Schlussfolgerung in Worten.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Für einen zweiseitigen Test einen einseitigen kritischen Wert verwenden.
Sagen, H₀ sei bewiesen, wenn H₀ nicht verworfen wird.
√n im Standardfehler vergessen.
Hypothesentests & Konfidenzintervalle: Was wird geübt?
Leicht: z-Statistik
Mittel: t-Statistik
Schwer: Konfidenzintervalle
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
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