Konfidenzintervalle: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Vertrauensintervall · Konfidenzniveau

Kostenlose Übungsaufgaben zu Konfidenzintervalle mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: z-Intervall, t-Intervall, Stichprobenumfang.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
LU = ?p̂ = 55/100E90%

In einer Umfrage unter 100 zufällig ausgewählten Wählern unterstützen 55 einen Vorschlag. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Anteil der Befürworter.

n = 100x = 5590%
Nächste Aufgabe →
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Was du übst

  1. Leichtz-Intervall
  2. Mittelt-Intervall
  3. SchwerStichprobenumfang

So löst du Aufgaben zu Konfidenzintervalle

  1. Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
  2. Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
  3. Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
  4. Intervall: x̄ ± E.

Häufige Fehler

  • Vergessen, durch √n zu teilen.
  • z verwenden, obwohl die Stichprobe klein und σ unbekannt ist.
  • Den Stichprobenumfang ab- statt aufrunden.

Wichtige Formeln

σ bekannt
x̄ ± z·σ/√n
σ unbekannt
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritischer z-Wert
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Stichprobenumfang
n = (z·σ/E)², rounded up

Konfidenzintervalle von Grund auf lernen

Davor: Normalverteilung

1Was ein Konfidenzintervall ist

Du willst den Mittelwert μ einer ganzen Grundgesamtheit kennen, zum Beispiel die durchschnittliche Lebensdauer aller Batterien, die eine Fabrik herstellt. Du kannst nicht alle testen, also testest du eine Stichprobe von n Batterien.

Der Stichprobenmittelwert x̄ ist deine beste Schätzung für μ, aber eine andere Stichprobe würde ein etwas anderes x̄ liefern. Eine einzelne Zahl verbirgt diese Unsicherheit.

Ein Konfidenzintervall gibt stattdessen einen Bereich an: von x̄ minus einer Spanne bis x̄ plus einer Spanne.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Ein 95-%-Konfidenzintervall wird mit einem Verfahren gebildet, das in 95 % aller Stichproben das wahre μ einschließt. Ein höheres Konfidenzniveau ergibt ein breiteres Intervall.

Selbsttest Du berechnest aus derselben Stichprobe ein 90-%- und ein 99-%-Konfidenzintervall. Welches ist breiter?
  1. Das 90-%-Intervall
  2. Das 99-%-Intervall
  3. Es hängt vom Stichprobenmittelwert ab
  4. Sie sind gleich breit

Antwort: Das 99-%-Intervall. Um sicherer zu sein, dass das Intervall μ enthält, muss es breiter sein. Der kritische Wert 2,576 für 99 % ist größer als der Wert 1,645 für 90 %.

2Das z-Intervall

Wenn die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit bekannt ist, lautet das Intervall:

x̄ ± z · σ / √n

Der Term σ/√n ist der Standardfehler: wie stark x̄ von Stichprobe zu Stichprobe schwankt. Eine größere Stichprobe ergibt einen kleineren Standardfehler.

Der kritische Wert z hängt vom Konfidenzniveau ab. Lerne diese drei:

  • 90 %: z = 1,645
  • 95 %: z = 1,96
  • 99 %: z = 2,576

Die Fehlerspanne ist E = z · σ/√n. Das Intervall reicht von x̄ − E (der unteren Grenze) bis x̄ + E (der oberen Grenze).

Selbsttest Eine Stichprobe von 64 hat den Mittelwert 55. Die σ der Grundgesamtheit ist 12. Wie groß ist die obere Grenze des 95-%-Konfidenzintervalls?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Antwort: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, also ist die obere Grenze 57,94. Ohne √n erhältst du 78,52, und 57,47 verwendet den 90-%-Wert 1,645.

3Das t-Intervall und der Stichprobenumfang

Meist ist σ nicht bekannt. Dann verwendest du die Stichprobenstandardabweichung s, und der kritische Wert stammt aus der t-Verteilung:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Die Zahl der Freiheitsgrade df ist n − 1. Der t-Wert ist größer als z, das Intervall also breiter: Es berücksichtigt die zusätzliche Unsicherheit in s. Für großes n kommt t nahe an z heran.

Bei 95 %: t = 2,262 für df = 9, t = 2,131 für df = 15 und t = 2,045 für df = 29.

Manchmal musst du den Stichprobenumfang planen: Wie groß muss n sein, damit die Fehlerspanne höchstens E beträgt? Löse E = zσ/√n nach n auf:

n = (z · σ / E)²

Runde immer auf die nächste ganze Zahl auf. Abrunden würde eine Fehlerspanne ergeben, die etwas größer als E ist.

Selbsttest σ = 13. Wie groß muss die Stichprobe für ein 95-%-Intervall mit einer Fehlerspanne von höchstens 2 sein?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Antwort: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, aufgerundet 163. Abrunden auf 162 ergibt eine Fehlerspanne knapp über 2, und 13 vergisst das Quadrieren.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Schreibe n, x̄ und σ oder s auf.
  2. Wähle z (σ bekannt) oder t mit df = n − 1 (nur s bekannt).
  3. Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
  4. Berechne den Standardfehler: σ/√n oder s/√n.
  5. Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardfehler.
  6. Intervall: von x̄ − E bis x̄ + E. Gib die Grenze an, nach der gefragt ist.

Bei einer Frage zum Stichprobenumfang: n = (zσ/E)², aufgerundet.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Eine Stichprobe von 16 Stück hat den Mittelwert 40 und die Standardabweichung s = 6. Die Grundgesamtheit ist ungefähr normalverteilt. Bestimme das 95-%-Konfidenzintervall für den Mittelwert.

1

z oder t?

Nur die Stichprobenstandardabweichung s ist bekannt, nicht σ. Verwende also t mit df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Standardfehler

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Fehlermarge

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Das Intervall

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Antwort prüfen

Mit z = 1,96 wäre die Fehlerspanne 2,94. Das t-Intervall ist etwas breiter, wie es sein soll, wenn σ unbekannt ist.

Antwort

Das 95-%-Konfidenzintervall ist [36,80; 43,20].

6Häufige Fehler

  • Vergessen, durch √n zu teilen.
  • z verwenden, obwohl die Stichprobe klein und σ unbekannt ist.
  • df = n statt df = n − 1 für t verwenden.
  • Den 90-%-Wert 1,645 für ein 95-%-Intervall verwenden.
  • Den Stichprobenumfang ab- statt aufrunden.
Selbsttest Eine Stichprobe mit n = 10 hat die Standardabweichung s = 5. σ ist unbekannt. Welchen kritischen Wert verwendest du für ein 95-%-Intervall?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Antwort: t = 2,262 (df = 9). σ ist unbekannt, also verwendest du t mit df = n − 1 = 9. Mit z ignorierst du die Unsicherheit in s, und df = 10 vergisst das Minus eins.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: ein z-Intervall. σ ist bekannt; bestimme die untere oder obere Grenze.
  • Mittel: ein t-Intervall. Nur s ist gegeben; der t-Wert mit n − 1 Freiheitsgraden ist gegeben oder stammt aus einer Tabelle.
  • Schwer: Stichprobenumfang. Bestimme das kleinste n für eine gegebene Fehlerspanne und runde auf.

Eine schnelle Kontrolle: Der Stichprobenmittelwert liegt immer genau in der Mitte des Intervalls.

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Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Eine Stichprobe von 200 Messungen hat den Mittelwert 174,5. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist bekannt und beträgt 30. Bestimme die obere Grenze des 90-%-Konfidenzintervalls für den Mittelwert.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Gesucht: obere Grenze

Tipps anzeigen
  1. σ ist bekannt, also nimm den kritischen z-Wert.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Konfidenzintervall für einen Mittelwert: x̄ ± Fehlermarge. Bei bekanntem σ der Grundgesamtheit ist die Fehlermarge z·σ/√n; ist nur die Stichproben-Standardabweichung s bekannt, nimm t mit n − 1 Freiheitsgraden: t·s/√n. Kritische Werte: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Für eine Fehlermarge von höchstens E brauchst du n ≥ (z·σ/E)², aufgerundet.

Fehlermarge

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Intervall

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Antwort

obere Grenze = 178
Beispiel 2Mittel
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Ein 95-%-Konfidenzintervall für einen Mittelwert, basierend auf 50 Beobachtungen und bekanntem σ, hat eine Fehlermarge von 7,8. Wie groß ist die Fehlermarge E₂, wenn dieselbe Studie stattdessen 100 Beobachtungen verwendet?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Gesucht: E₂

Tipps anzeigen
  1. E = z·σ/√n, und σ bleibt gleich.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Verhältnis der Fehlermargen

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Neue Fehlermarge

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Antwort

E₂ = 5,515
Beispiel 3Schwer
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Die Durchmesser von 21 gefertigten Wellen haben eine Stichprobenstandardabweichung von 1,2 µm. Bestimme unter der Annahme normalverteilter Durchmesser die obere Grenze σ des 95-%-Konfidenzintervalls für die Standardabweichung der Grundgesamtheit. Bei df = 20 liegen 2,5 % der χ²-Verteilung unter 9,591 und 2,5 % über 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Gesucht: σ (µm)

Tipps anzeigen
  1. Bei einer normalverteilten Grundgesamtheit folgt (n − 1)s²/σ² einer χ²-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
  2. Intervall für σ²: von (n − 1)s²/34,17 bis (n − 1)s²/9,591. Ziehe für σ die Wurzeln.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Intervall für eine Varianz: (n − 1)s²/σ² ist χ²-verteilt mit n − 1 Freiheitsgraden. Das 95-%-Intervall für σ² reicht von (n − 1)s² geteilt durch den oberen χ²-Wert (2,5 % darüber) bis (n − 1)s² geteilt durch den unteren χ²-Wert (2,5 % darunter); das Intervall für σ ist die Wurzel beider Grenzen. Es ist nicht symmetrisch um s.

Quadratsumme

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Grenzen für σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Grenze für σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Antwort

σ = 1,733 µm

95-%-Intervall für σ: [0,9181, 1,733] µm.

Fragen und Antworten

Konfidenzintervalle: Worum geht es?

Du willst den Mittelwert μ einer ganzen Grundgesamtheit kennen, zum Beispiel die durchschnittliche Lebensdauer aller Batterien, die eine Fabrik herstellt. Du kannst nicht alle testen, also testest du eine Stichprobe von n Batterien.

Der Stichprobenmittelwert x̄ ist deine beste Schätzung für μ, aber eine andere Stichprobe würde ein etwas anderes x̄ liefern. Eine einzelne Zahl verbirgt diese Unsicherheit.

Konfidenzintervalle: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
  1. Entscheide zwischen z (σ der Grundgesamtheit bekannt) und t (nur die Stichproben-Standardabweichung s, mit n − 1 Freiheitsgraden).
  2. Bestimme den kritischen Wert für das Konfidenzniveau.
  3. Fehlerspanne: E = kritischer Wert × Standardabweichung/√n.
  4. Intervall: x̄ ± E.
Konfidenzintervalle: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Vergessen, durch √n zu teilen.
  • z verwenden, obwohl die Stichprobe klein und σ unbekannt ist.
  • Den Stichprobenumfang ab- statt aufrunden.
Konfidenzintervalle: Was wird geübt?
  • Leicht: z-Intervall
  • Mittel: t-Intervall
  • Schwer: Stichprobenumfang

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

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