Lineare Regression und Korrelation: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen

Auch genannt: Regressionsanalyse · Korrelationskoeffizient · Methode der kleinsten Quadrate

Kostenlose Übungsaufgaben zu Lineare Regression und Korrelation mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Steigung und Achsenabschnitt, Korrelationskoeffizient, Vorhersage.

Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
xy242352445555660760xy2465060

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Lernstunden und y = Prüfungspunkte. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Bestimme den Achsenabschnitt a.

n = 6
Nächste Aufgabe →
Lineare Regression und Korrelation kostenlos übenLineare Regression und Korrelation jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Was du übst

  1. LeichtSteigung und Achsenabschnitt
  2. MittelKorrelationskoeffizient
  3. SchwerVorhersage

Wichtige Formeln

Quadratsummen
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Steigung
b = Sxy/Sxx
Achsenabschnitt
a = ȳ − b·x̄
Korrelation
r = Sxy/√(SxxSyy)
Residuum
e = y − ŷ

Lineare Regression und Korrelation von Grund auf lernen

Davor: Beschreibende Statistik

1Was Regression ist

Du misst für jeden Fall zwei Größen, zum Beispiel x = gelernte Stunden und y = Prüfungspunktzahl. Jedes Paar ist ein Punkt in einem Streudiagramm.

xy123456246810

Liegen die Punkte ungefähr entlang einer Geraden, kannst du sie mit einer Geraden beschreiben und damit y aus x vorhersagen. Das ist die lineare Regression.

ŷ = a + b · x
  • ŷ („y Dach“) ist der vorhergesagte Wert von y.
  • b ist die Steigung: wie stark sich ŷ ändert, wenn x um 1 zunimmt.
  • a ist der Achsenabschnitt: der Wert von ŷ bei x = 0.
Selbsttest Eine Regressionsgerade ist ŷ = 40 + 5x, mit x als gelernten Stunden und ŷ als vorhergesagter Punktzahl. Was bedeutet die 5?
  1. Die Gerade geht durch (5, 40)
  2. Die Punktzahl ist das 5-Fache der Stunden
  3. Ein Student, der nicht lernt, erreicht 5
  4. Jede zusätzliche Stunde bringt etwa 5 Punkte

Antwort: Jede zusätzliche Stunde bringt etwa 5 Punkte. Die Steigung b ist die Änderung von ŷ pro Einheit von x. Die vorhergesagte Punktzahl bei x = 0 ist der Achsenabschnitt a = 40, nicht 5.

2Die Gerade der kleinsten Quadrate

Keine Gerade geht durch jeden Punkt. Der senkrechte Abstand eines Punktes von der Geraden ist sein Residuum, e = y − ŷ.

Die Gerade der kleinsten Quadrate ist die Gerade mit der kleinstmöglichen Summe der quadrierten Residuen. Ihre Steigung und ihr Achsenabschnitt ergeben sich aus Summen von Abweichungen von den Mittelwerten:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Die Gerade geht immer durch den Punkt der Mittelwerte (x̄, ȳ). Deshalb gilt a = ȳ − b · x̄.

Sind nur die Summen gegeben, verwende die Abkürzungen Sxx = Σx² − (Σx)²/n und Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Selbsttest Für einen Datensatz gilt x̄ = 4, ȳ = 10 und b = 2. Wie groß ist der Achsenabschnitt a?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Antwort: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Addiert man statt zu subtrahieren, erhält man 18, und 10 ist ȳ selbst, was die Steigung vergisst.

3Der Korrelationskoeffizient

Pearsons Korrelationskoeffizient r misst, wie nah die Punkte an einer Geraden liegen. Er liegt immer zwischen −1 und 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r nahe 1: ein starker steigender Trend.
  • r nahe −1: ein starker fallender Trend, etwa Autopreis gegen Fahrzeugalter.
  • r nahe 0: kein linearer Zusammenhang.

r hat dasselbe Vorzeichen wie die Steigung b. Sein Quadrat r² ist der Anteil der Variation in y, den die Gerade erklärt.

Eine starke Korrelation beweist nicht, dass x y verursacht. Beide können von einer dritten Größe abhängen.

Selbsttest Für das Fahrzeugalter x und den Preis y gilt r = −0,95. Was sagt dir das?
  1. Die Berechnung ist falsch, weil r negativ ist
  2. Einen schwachen Zusammenhang
  3. Einen starken fallenden linearen Zusammenhang
  4. Ältere Autos kosten mehr

Antwort: Einen starken fallenden linearen Zusammenhang. r nahe −1 bedeutet, dass die Punkte nah an einer fallenden Geraden liegen: Der Preis sinkt, wenn das Alter steigt. Ein negatives r ist völlig in Ordnung; nur Werte außerhalb von −1 bis 1 sind unmöglich.

4Das Verfahren Schritt für Schritt

  1. Berechne die Mittelwerte x̄ und ȳ.
  2. Erstelle eine Tabelle mit den Spalten x − x̄, y − ȳ, deren Produkt und (x − x̄)². Füge (y − ȳ)² hinzu, wenn r gefragt ist.
  3. Addiere die Spalten, um Sxy, Sxx und Syy zu erhalten.
  4. Steigung b = Sxy/Sxx, dann Achsenabschnitt a = ȳ − b · x̄.
  5. Korrelation r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Vorhersage: Setze x in ŷ = a + bx ein. Residuum: e = y − ŷ.

5Ein durchgerechnetes Beispiel

Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.

Durchgerechnetes Beispiel

Fünf Paare werden gemessen: x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 3, 5, 6, 8, 8. Bestimme die Gerade der kleinsten Quadrate ŷ = a + b·x und sage ŷ für x = 6 voraus.

1

Die Mittelwerte

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Abweichungen

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Die Summen

Multipliziere die Paare: 6, 1, 0, 2, 4. Quadriere die x-Abweichungen: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Steigung und Achsenabschnitt

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Die gestrichelten Linien sind die Residuen. Sie sind klein, die Gerade passt also gut.

5

Vorhersagen

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Kontrolle: Die Gerade geht durch den Punkt der Mittelwerte, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Antwort

ŷ = 2,1 + 1,3x, und die Vorhersage für x = 6 ist ŷ = 9,9.

6Häufige Fehler

  • Das Residuum als ŷ − y statt als y − ŷ berechnen.
  • Für die Steigung durch Syy statt durch Sxx teilen.
  • a und b verwechseln: Die Steigung multipliziert x.
  • Vergessen, dass r dasselbe Vorzeichen wie die Steigung hat.
  • Weit außerhalb des Datenbereichs vorhersagen. Dort gilt die Gerade möglicherweise nicht.
Selbsttest Die Gerade ist ŷ = 2,1 + 1,3x. Ein neuer Punkt (6, 8) wird gemessen. Wie groß ist sein Residuum?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Antwort: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, also e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Der Punkt liegt unter der Geraden. 1,9 berechnet ŷ − y, also falsch herum.

7So sehen Prüfungsaufgaben aus

  • Leicht: Steigung und Achsenabschnitt. Fünf Paare in einer Tabelle; bestimme b oder a der Geraden der kleinsten Quadrate.
  • Mittel: der Korrelationskoeffizient r, aus den Daten oder aus gegebenen Summen.
  • Schwer: Vorhersage. Verwende die Gerade, um ŷ für ein neues x vorherzusagen, oder bestimme das Residuum einer neuen Beobachtung.

Eine schnelle Kontrolle: Das Vorzeichen von b und von r muss zur Richtung des Streudiagramms passen.

Lerne Schritt für Schritt in der AppLerne Schritt für Schritt in der App

Beispielaufgaben

Beispiel 1Leicht
xy2441262082210301235xy510102030

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Last in kN und y = Verlängerung in mm. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Bestimme den Achsenabschnitt a.

n = 6

Gesucht: a

Tipps anzeigen
  1. Bestimme zuerst die Steigung b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. Die Gerade geht durch (x̄, ȳ), also a = ȳ − b·x̄.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Quadrat- und Produktsummen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Steigung

b = 211/70 = 3,014

Achsenabschnitt

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Antwort

a = −0,6
Beispiel 2Mittel
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Die Tabelle enthält 6 Wertepaare von x = Temperatur in °C und y = verkaufte Eiskugeln. Ihre Summen sind gegeben. Bestimme daraus den Korrelationskoeffizienten nach Pearson r.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Gesucht: r

Tipps anzeigen
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Zentrierte Summen

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Korrelationskoeffizient

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Antwort

r = 0,9746
Beispiel 3Schwer
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Die Tabelle enthält 5 Wertepaare von x = Fahrzeugalter in Jahren und y = Preis in k€. Verwende die Regressionsgerade ŷ = a + b·x nach der Methode der kleinsten Quadrate. Sage ŷ für x = 1,5 voraus.

n = 5x = 1,5

Gesucht: ŷ

Tipps anzeigen
  1. Bestimme zuerst die Regressionsgerade: b = Sxy/Sxx und a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Mittelwerte

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Quadrat- und Produktsummen

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Regressionsgerade

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Vorhersage

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Antwort

ŷ = 21,75

Fragen und Antworten

Lineare Regression und Korrelation: Worum geht es?

Du misst für jeden Fall zwei Größen, zum Beispiel x = gelernte Stunden und y = Prüfungspunktzahl. Jedes Paar ist ein Punkt in einem Streudiagramm.

Liegen die Punkte ungefähr entlang einer Geraden, kannst du sie mit einer Geraden beschreiben und damit y aus x vorhersagen. Das ist die lineare Regression.

Lineare Regression und Korrelation: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?

Regression nach der Methode der kleinsten Quadrate: Mit den Mittelwerten x̄ und ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² und Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) hat die Gerade ŷ = a + b·x die Steigung b = Sxy/Sxx und den Achsenabschnitt a = ȳ − b·x̄; sie geht also immer durch (x̄, ȳ). Der Korrelationskoeffizient nach Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) liegt zwischen −1 und 1; r² ist der Anteil der Streuung von y, der durch die Gerade erklärt wird.

Lineare Regression und Korrelation: Welche Fehler passieren am häufigsten?
  • Der Achsenabschnitt ist a = ȳ − b·x̄: Die Gerade geht durch (x̄, ȳ).
  • ȳ ist die Höhe der Geraden bei x = x̄, nicht bei x = 0. Verwende a = ȳ − b·x̄.
  • Verwende in der Kovarianz und in beiden Standardabweichungen denselben Divisor (n oder n − 1). Mit Sxy, Sxx und Syy kürzen sich die Divisoren heraus.
Lineare Regression und Korrelation: Was wird geübt?
  • Leicht: Steigung und Achsenabschnitt
  • Mittel: Korrelationskoeffizient
  • Schwer: Vorhersage

Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.

So funktioniert das Üben

  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.

Themen davor und danach

Zuerst lernen

Beschreibende Statistik

Rechner

Rechner für lineare RegressionKorrelationskoeffizient-Rechner (Pearson und Spearman)

Kurse mit diesem Thema

Forschungsmethoden und Statistik in der PsychologieEinführung in die StatistikStatistik 2: Schließende StatistikÜbungsaufgaben für AP StatisticsÜbungsaufgaben für CFA Level I: Quantitative Methods und Fixed Income

Weitere Themen in Mathematik & Statistik

GrenzwerteAbleitungenOptimierungIntegraleFolgen & ReihenAnalysis mehrerer VariablenDifferentialgleichungenKomplexe ZahlenNumerische VerfahrenMatrizen & DeterminantenVektoren: Skalar- und KreuzproduktAussagenlogik & BeweiseMengen, Relationen & FunktionenGraphentheorieZahlentheorie & modulare ArithmetikWahrscheinlichkeitBeschreibende StatistikNormalverteilungKonfidenzintervalleHypothesentests & KonfidenzintervalleChi-Quadrat-Tests

Arbeitsblatt zum Ausdrucken

Arbeitsblatt Lineare Regression und Korrelation mit Lösungen
Lineare Regression und Korrelation kostenlos übenLineare Regression und Korrelation jetzt übenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.