Chi-Quadrat-Tests: Übungsaufgaben mit Schritt-für-Schritt-Lösungen
Auch genannt: Chi-Quadrat-Test · χ²-Test · Kontingenztafel
Kostenlose Übungsaufgaben zu Chi-Quadrat-Tests mit Skizzen, Tipps und vollständigen Musterlösungen. Jedes Mal neue Werte, in drei Stufen: Anpassungstest, Unabhängigkeitstest, Entscheidung mit dem kritischen Wert.
Kostenlose ÜbungsaufgabeLeicht
Ein Süßwarenhersteller gibt die in der Tabelle gezeigten Farbanteile an. Eine Zufallsstichprobe von 200 Bonbons liefert die beobachteten Häufigkeiten. Berechne die Prüfgröße χ² des Chi-Quadrat-Anpassungstests für H₀: die angegebenen Anteile sind richtig.
Ein Chi-Quadrat-Test (χ²) vergleicht Häufigkeiten. Er fragt, ob sich die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten um mehr als den Zufall unterscheiden.
Beispiel: Du würfelst 60-mal. Wenn der Würfel fair ist, sollte jede Seite etwa 60 · 1/6 = 10-mal kommen. Das sind die erwarteten Häufigkeiten E.
Du beobachtest 8, 12, 9, 11, 6 und 14. Das sind die beobachteten Häufigkeiten O. Sie sind nie genau 10, auch bei einem fairen Würfel. Die Frage ist, ob sie zu weit abweichen.
Wie bei jedem Hypothesentest sagt H₀, dass nichts Besonderes vorliegt: Der Würfel ist fair, oder zwei Variablen sind unabhängig.
Selbsttest Ein Würfel wird 120-mal geworfen, um zu prüfen, ob er fair ist. Wie groß ist die erwartete Häufigkeit für jede Seite?
1/6
120
20
6
Antwort: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Die Wahrscheinlichkeit 1/6 ist keine Häufigkeit; du musst sie mit der Anzahl der Würfe multiplizieren.
2Die Teststatistik
Bilde für jede Kategorie die Differenz O − E, quadriere sie und teile durch E. Addiere dann über alle Kategorien:
χ² = Σ (O − E)² / E
Das Quadrieren macht jeden Term positiv. Das Teilen durch E sorgt dafür, dass eine Differenz von 4 stärker zählt, wenn nur 10 erwartet wurden, als wenn 1000 erwartet wurden.
Die Freiheitsgrade dieses Anpassungstests sind df = k − 1, wobei k die Anzahl der Kategorien ist. Sechs Seiten ergeben df = 5.
Ein großes χ² bedeutet, dass die Daten schlecht zu H₀ passen. Verwirf H₀, wenn χ² größer ist als der kritische Wert aus der Tabelle. Bei α = 0,05:
df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592
Für den Würfel liegt 4,2 unter 11,070, es gibt also keinen Hinweis darauf, dass er unfair ist.
Selbsttest Eine Kategorie hat O = 14 und E = 10. Was trägt sie zu χ² bei?
0,4
1,6
16
4
Antwort: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Ohne Quadrieren erhältst du 0,4, und ohne Teilen durch E erhältst du 16.
3Der Unabhängigkeitstest
Eine Kontingenztafel zählt Fälle nach zwei Variablen gleichzeitig, etwa Behandlung (Zeilen) und Ergebnis (Spalten). H₀: Die beiden Variablen sind unabhängig.
Wenn sie unabhängig sind, ergibt sich die erwartete Häufigkeit in jeder Zelle aus den Summen:
E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme
Dann wird χ² mit derselben Formel wie zuvor über jede Zelle der Tabelle berechnet, ohne die Summen.
df = (r − 1)(c − 1)
Dabei ist r die Anzahl der Zeilen und c die Anzahl der Spalten, ohne die Summen mitzuzählen. Eine 2×2-Tabelle hat df = 1.
Selbsttest In einer Tabelle mit der Gesamtsumme 120 hat eine Zelle die Zeilensumme 40 und die Spaltensumme 30. Wie groß ist ihre erwartete Häufigkeit?
10
1200
3
70
Antwort: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 vergisst, durch die Gesamtsumme zu teilen.
4Das Verfahren Schritt für Schritt
Formuliere H₀: Die behaupteten Anteile stimmen (Anpassungstest), oder die Variablen sind unabhängig.
Berechne jede erwartete Häufigkeit: E = n · p oder Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme.
Berechne für jede Zelle (O − E)²/E. Addiere alle, um χ² zu erhalten.
Bestimme df: k − 1 beim Anpassungstest, (r − 1)(c − 1) bei Unabhängigkeit.
Schlage den kritischen Wert für dieses df bei α = 0,05 nach.
Verwirf H₀, wenn χ² größer ist als der kritische Wert. Formuliere das Ergebnis in Worten.
Kontrolle: Die erwarteten Häufigkeiten in jeder Zeile und Spalte ergeben dieselben Summen wie die beobachteten Häufigkeiten.
5Ein durchgerechnetes Beispiel
Folge jedem Schritt. Versuche, den nächsten vorherzusagen, bevor du ihn öffnest.
Durchgerechnetes Beispiel
In einer Studie erhalten 120 Patienten ein neues Medikament (Zeile A) und 100 ein Placebo (Zeile B). Spalte 1 zählt die Patienten, denen es besser ging, Spalte 2 die, denen es nicht besser ging. Teste bei α = 0,05, ob das Ergebnis von der Behandlung unabhängig ist.
1
Lies die Tabelle
Zeilensummen: 120 und 100. Spaltensummen: 110 und 110. Gesamtsumme: 220.
1,173 ist kleiner als 3,841, also liegt χ² nicht im Ablehnungsbereich. Verwirf H₀ nicht.
Antwort
χ² ≈ 1,17 < 3,841: kein signifikanter Hinweis darauf, dass die Besserung von der Behandlung abhängt.
6Häufige Fehler
Prozentwerte oder Anteile statt Häufigkeiten verwenden. χ² funktioniert nur mit absoluten Häufigkeiten.
Durch O statt durch E teilen.
Die Summenzeile oder Summenspalte in die Summe einbeziehen.
Die falschen df verwenden: Bei einer Tabelle sind es (r − 1)(c − 1), nicht die Anzahl der Zellen minus eins.
H₀ verwerfen, wenn χ² kleiner ist als der kritische Wert. Nur ein großes χ² spricht gegen H₀.
Selbsttest Ein Unabhängigkeitstest verwendet eine Tabelle mit 3 Zeilen und 4 Spalten (ohne die Summen). Wie viele Freiheitsgrade hat er?
11
12
5
6
Antwort: 6. df = (3 − 1)(4 − 1) = 2 · 3 = 6. 11 ist die Anzahl der Zellen minus eins, also die Regel des Anpassungstests, fälschlich auf eine Tabelle angewendet.
7So sehen Prüfungsaufgaben aus
Leicht: Anpassungstest. Häufigkeiten von Würfelseiten oder Bonbonfarben gegen behauptete Anteile; berechne χ².
Mittel: der Unabhängigkeitstest. Berechne die erwarteten Häufigkeiten aus den Summen, dann χ², ohne Kontinuitätskorrektur.
Schwer: die Entscheidung mit dem kritischen Wert. Bestimme df und den kritischen Wert χ²krit bei α = 0,05 aus der Tabelle.
Eine schnelle Kontrolle: χ² ist nie negativ und nur dann 0, wenn jede beobachtete Häufigkeit ihrer erwarteten entspricht.
Ein Würfel wird 300-mal geworfen, um zu prüfen, ob er fair ist. Die Häufigkeiten der Augenzahlen sind angegeben. Berechne die Prüfgröße χ² des Chi-Quadrat-Anpassungstests für H₀: jede Augenzahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/6.
n = 300k = 6
Gesucht: χ²
Tipps anzeigen
Erwartete Häufigkeiten unter H₀: E = n·p für jede Kategorie.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Addiere (O − E)²/E über alle Kategorien.
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 5. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 11,070, also wird H₀ nicht verworfen.
Beispiel 2Mittel
Die Kontingenztafel zeigt beobachtete Häufigkeiten. Berechne die Chi-Quadrat-Prüfgröße χ² für den Test auf Unabhängigkeit zwischen Zeilen- und Spaltenvariable. Verwende keine Stetigkeitskorrektur.
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
df = 1. Bei α = 0,05 ist der kritische Wert 3,841, also wird H₀ (Unabhängigkeit) nicht verworfen.
Beispiel 3Schwer
Ein Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest wird an einer Kontingenztafel mit 2 Zeilen und 6 Spalten (ohne die Summen) durchgeführt. Wie viele Freiheitsgrade df hat der Test?
2 × 6
Gesucht: df
Tipps anzeigen
Die Freiheitsgrade geben an, wie viele Zellen frei variieren können, wenn die Summen (und eventuell geschätzte Parameter) festliegen.
Anpassungstest: k − 1, minus eins für jeden geschätzten Parameter.
Unabhängigkeit: (r − 1)(c − 1).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
Freiheitsgrade
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Antwort
df = 5
Fragen und Antworten
Chi-Quadrat-Tests: Worum geht es?
Ein Chi-Quadrat-Test (χ²) vergleicht Häufigkeiten. Er fragt, ob sich die beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten um mehr als den Zufall unterscheiden.
Beispiel: Du würfelst 60-mal. Wenn der Würfel fair ist, sollte jede Seite etwa 60 · 1/6 = 10-mal kommen. Das sind die erwarteten Häufigkeiten E.
Chi-Quadrat-Tests: Wie löst man die Aufgaben Schritt für Schritt?
Chi-Quadrat-Tests: Vergleiche die beobachteten Häufigkeiten O mit den unter H₀ erwarteten Häufigkeiten E über χ² = Σ(O − E)²/E. Anpassungstest: E = n·p für jede Kategorie, df = k − 1 (minus eins für jeden aus den Daten geschätzten Parameter). Unabhängigkeit in einer r × c-Tafel: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme, df = (r − 1)(c − 1). Verwirf H₀, wenn χ² den kritischen Wert für das gewählte α überschreitet.
Chi-Quadrat-Tests: Welche Fehler passieren am häufigsten?
Teile jede quadrierte Differenz durch die erwartete Häufigkeit E, nicht durch die beobachtete Häufigkeit O.
Teile jede quadrierte Differenz vor dem Addieren durch ihre eigene erwartete Häufigkeit E, statt die Summe durch n zu teilen.
Erwartete Häufigkeiten ergeben sich aus den Randsummen, nicht aus einer gleichmäßigen Verteilung der Gesamtsumme: E = Zeilensumme × Spaltensumme / Gesamtsumme.
Chi-Quadrat-Tests: Was wird geübt?
Leicht: Anpassungstest
Mittel: Unabhängigkeitstest
Schwer: Entscheidung mit dem kritischen Wert
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort. Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
So funktioniert das Üben
Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
Dein Fortschritt, deine Fehler und gespeicherten Aufgaben bleiben erhalten, damit du vor der Prüfung wiederholen kannst.