t-Test-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Führe einen Einstichproben-, Zweistichproben- oder gepaarten t-Test aus Kennzahlen oder aus deinen Daten durch. Der Rechner liefert die t-Statistik, die Freiheitsgrade (mit der Welch-Satterthwaite-Gleichung, wenn die Varianzen nicht als gleich angenommen werden), den exakten p-Wert aus der t-Verteilung, den kritischen Wert, das Konfidenzintervall und die Entscheidung bei deinem Signifikanzniveau. Jeder Schritt wird gezeigt, sodass du das Verfahren in einer Prüfung nachvollziehen kannst.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Hypothesen
Standardfehler
Teststatistik
Freiheitsgrade
p-Wert aus der t-Verteilung
Entscheidung
Konfidenzintervall
Wichtige Formeln
- Einstichproben-t-Test
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Welch-t-Test (zwei Stichproben)
- t = (x̄1 − x̄2)/√(s1²/n1 + s2²/n2)
- Freiheitsgrade nach Welch
- df = (s1²/n1 + s2²/n2)² / [(s1²/n1)²/(n1 − 1) + (s2²/n2)²/(n2 − 1)]
- Konfidenzintervall
- x̄ ± tcrit(df)·s/√n
- Entscheidung
- H₀ verwerfen, wenn |t| > tcrit(df)
So führst du einen t-Test durch
- Formuliere die Hypothesen. H₀ besagt, dass der Mittelwert (oder die Differenz der Mittelwerte) einem Wert entspricht; H₁ besagt, dass er davon verschieden (zweiseitig), kleiner (linksseitig) oder größer (rechtsseitig) ist.
- Berechne den Standardfehler: s/√n für eine Stichprobe oder für die gepaarten Differenzen und √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂) für zwei unabhängige Stichproben (oder die gepoolte Variante, wenn die Varianzen als gleich angenommen werden).
- Berechne t = (Schätzwert − hypothetischer Wert)/Standardfehler.
- Bestimme die Freiheitsgrade: n − 1 für eine Stichprobe oder für Paare, n₁ + n₂ − 2 für den gepoolten Test und sonst die Welch-Satterthwaite-Gleichung.
- Bestimme den p-Wert aus der t-Verteilung oder vergleiche t mit dem kritischen Wert aus einer t-Tabelle.
- Verwirf H₀, wenn p ≤ α; das ist gleichbedeutend damit, dass t jenseits des kritischen Wertes liegt. Andernfalls verwirf H₀ nicht.
Fragen und Antworten
Sollte ich den Welch-Test oder den gepoolten t-Test verwenden?
Der Welch-Test setzt keine gleichen Varianzen voraus und ist die sicherere Standardwahl: Er verliert bei gleichen Varianzen sehr wenig Teststärke und bleibt zuverlässig, wenn sie ungleich sind. Verwende den gepoolten Test, wenn dein Kurs oder die Aufgabe vorgibt, gleiche Varianzen in den Grundgesamtheiten anzunehmen.
Wann verwende ich einen t-Test für gepaarte Stichproben?
Wenn jeder Wert der einen Stichprobe zu genau einem Wert der anderen gehört, zum Beispiel dieselben Studierenden vor und nach einem Kurs oder zwei Messungen am selben Objekt. Der Test arbeitet dann mit den Differenzen, wodurch die Variation zwischen den Individuen wegfällt.
Was bedeutet der p-Wert?
Er ist die Wahrscheinlichkeit, eine mindestens so extreme t-Statistik wie deine zu erhalten, wenn H₀ gelten würde. Ein kleiner p-Wert bedeutet, dass sich die Daten kaum allein durch Zufall erklären lassen. Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass H₀ wahr ist.
Warum sind die Welch-Freiheitsgrade keine ganze Zahl?
Die Welch-Satterthwaite-Gleichung liefert eine Näherung für die Anzahl der Freiheitsgrade, die meist keine ganze Zahl ist. Der Rechner verwendet den exakten Wert; mit einer gedruckten Tabelle rundest du ab, was ein etwas konservativeres Ergebnis liefert.
Ist „H₀ nicht verwerfen“ dasselbe wie H₀ anzunehmen?
Nein. Es bedeutet nur, dass die Daten beim gewählten Signifikanzniveau nicht genug Evidenz gegen H₀ liefern. Der Unterschied kann real sein, aber für deine Stichprobe zu klein, um ihn zu erkennen.
Was setzt der t-Test voraus?
Unabhängige Beobachtungen und für jede Stichprobe (oder für die Differenzen) eine ungefähr normalverteilte Grundgesamtheit. Bei größeren Stichproben, etwa 30 oder mehr pro Gruppe, ist der Test dank des zentralen Grenzwertsatzes ziemlich robust gegenüber nicht normalverteilten Daten.
Übe es selbst
Hypothesentests & Konfidenzintervalle üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.