Höhere Mathematik für Ingenieure: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Die Mathematik, auf der Ingenieurkurse aufbauen: Analysis, komplexe Zahlen, Matrizen, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.

Diesen Kurs kostenlos übenDiesen Kurs übenProbeklausur schreibenJeden Tag 5 kostenlose Aufgaben. Keine Kreditkarte nötig.

Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Grenzwertedirektes Einsetzen und Faktorisieren · Grenzwerte im Unendlichen · Regel von L'HôpitalRechenaufgaben
  2. AbleitungenPotenzregel · Ketten- und Produktregel · Tangenten und ExtremaRechenaufgaben
  3. IntegralePolynome · Exponential, Logarithmus und Substitution · Flächen zwischen KurvenRechenaufgaben
  4. Komplexe ZahlenRechnen in kartesischer Form · Polar- und Exponentialform · De Moivre, Wurzeln und GleichungenRechenaufgaben
  5. Differentialgleichungenexponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall · Newtonsches Abkühlungsgesetz · lineare DGL erster OrdnungRechenaufgaben
  6. Matrizen & Determinanten2×2-Determinante · 3×3 und Produkte · Eigenwerte und GleichungssystemeRechenaufgaben
  7. Vektoren: Skalar- und KreuzproduktBetrag und Komponenten · Skalarprodukt · Kreuzprodukt und MomenteRechenaufgaben
  8. Wahrscheinlichkeitgleich wahrscheinliche Ergebnisse · Zählen und Gegenereignis · BinomialverteilungRechenaufgaben
  9. Beschreibende StatistikMittelwert und Median · Standardabweichung · NormalverteilungRechenaufgaben
  10. NormalverteilungFläche auf einer Seite · Fläche zwischen zwei Werten · PerzentileRechenaufgaben

Prüfungstipps für Höhere Mathematik für Ingenieure

  • Prüfe die Dimensionen eines Matrizenprodukts, bevor du multiplizierst.
  • Eine Determinante von null bedeutet, dass die Matrix keine Inverse hat.
  • Skizziere eine Funktion, bevor du sie ableitest oder integrierst; die Skizze deckt Vorzeichenfehler auf.

Beispielaufgaben

GrenzwerteLeicht
xyx = 1

Bestimme den Grenzwert L = limx→1 (x4 − 1)/(x − 1).

f(x) = (x4 − 1)/(x − 1)x → 1

Gesucht: L

Tipps anzeigen
  1. Einsetzen ergibt 0/0. Faktorisiere den Zähler.
  2. xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹).
  3. x4 − 1 = (x − 1)(x3 + x2 + x + 1).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Direktes Einsetzen versuchen

Zähler → 0 und Nenner → 0, also liegt die Form 0/0 vor.

Faktorisieren und kürzen

(x4 − 1)/(x − 1) = x3 + x2 + x + 1

Einsetzen

L = 1·13 + 1·12 + 1·1 + 1·1 = 4

Antwort

L = 4

Das ist die Ableitung von xⁿ an der Stelle x = a: n·aⁿ⁻¹.

AbleitungenMittel
xyx = 1

Gegeben ist f(x) = x3·e−x. Bestimme f′(1).

f(x) = x3·e−xx = 1

Gesucht: f′(1)

Tipps anzeigen
  1. Produktregel mit u = x3 und v = e−x.
  2. u′ = 3x2, v′ = −1·e−x.
  3. f′(x) = e−x·(3x2 + (−1)·x3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e−x·(3x2 + (−1)·x3)

Einsetzen

f′(1) = 0,3679·(3 + (−1)) = 0,7358

Antwort

f′(1) = 0,7358

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für z-Wert und NormalverteilungRechner für Mittelwert, Median und StandardabweichungRechner für Determinante und Inverse einer MatrixNormalverteilung-RechnerBinomialverteilung-RechnerPoisson-Verteilung-RechnerPermutationen- und Kombinationen-Rechner (nPr und nCr)Eigenwerte- und Eigenvektoren-RechnerErwartungswert- und Varianz-RechnerRechner für Halbwertszeit und exponentiellen ZerfallRechner für signifikante Stellen (zählen, runden und rechnen)Rechner für den prozentualen Fehler (und die prozentuale Differenz)Löser für quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = 0)Löser für lineare Gleichungssysteme (2×2 und 3×3)Ableitungsrechner mit RechenschrittenIntegralrechner (bestimmtes und unbestimmtes Integral)

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