Löser für quadratische Gleichungen (ax² + bx + c = 0)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Löse jede quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0. Der Rechner bestimmt die Diskriminante, verwendet die Lösungsformel und gibt die Lösungen sowohl als Dezimalzahlen als auch in exakter Form an, als Brüche oder vereinfachte Wurzeln wie 2 ± √3, auch komplexe Lösungen. Er findet außerdem den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse und die faktorisierte Form und prüft die Lösungen mit dem Satz von Vieta.
Schritt-für-Schritt-Lösung
a, b und c bestimmen
Diskriminante
Lösungsformel
Scheitelpunkt und Symmetrieachse
Faktorisierte Form
Mit den Vietaschen Formeln prüfen
Wichtige Formeln
- Quadratische Gleichung mit p² < 4q
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
So löst du eine quadratische Gleichung
- Schreibe die Gleichung in der Normalform ax² + bx + c = 0 und lies a, b und c mit ihren Vorzeichen ab.
- Berechne die Diskriminante Δ = b² − 4ac. Bei Δ > 0 gibt es zwei reelle Lösungen, bei Δ = 0 eine doppelte Lösung und bei Δ < 0 zwei konjugiert komplexe Lösungen.
- Verwende die Lösungsformel x = (−b ± √Δ)/(2a). Vereinfache die Wurzel, indem du Quadratzahlen herausziehst: √12 = 2√3.
- Für Δ < 0 schreibe √Δ = i·√|Δ|, die Lösungen sind dann −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
- Der Scheitelpunkt der Parabel y = ax² + bx + c liegt bei x = −b/(2a); setze ihn ein, um die y-Koordinate zu bestimmen.
- Probe: Die Lösungen ergeben als Summe −b/a und als Produkt c/a.
Fragen und Antworten
Wann kann ich faktorisieren, statt die Formel zu verwenden?
Ist die Diskriminante eine Quadratzahl und sind die Koeffizienten ganze Zahlen, sind die Lösungen rational und die quadratische Gleichung lässt sich über den ganzen Zahlen faktorisieren, wie 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Andernfalls ist die Lösungsformel das verlässliche Verfahren.
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Die Parabel schneidet die x-Achse nicht, es gibt also keine reellen Lösungen. Die beiden Lösungen sind konjugiert komplex, p ± qi, was zum Beispiel bei gedämpften Schwingungen und in der Schaltungsanalyse wichtig ist.
Was ist die Scheitelform?
y = a(x − h)² + k, wobei (h, k) der Scheitelpunkt ist. Sie zeigt das Minimum (a > 0) oder Maximum (a < 0) der Parabel direkt und ergibt sich durch quadratische Ergänzung.
Was, wenn a = 0 ist?
Dann ist die Gleichung linear, bx + c = 0, mit der einzigen Lösung x = −c/b. Die Lösungsformel würde durch null teilen, daher verlangt der Rechner ein a ungleich null.
Warum gibt der Rechner exakte Lösungen an?
Prüfungen verlangen oft Antworten wie (3 ± √17)/4 statt Dezimalzahlen. Sind a, b und c ganze Zahlen oder Dezimalzahlen, rechnet der Rechner mit exakten Brüchen und vereinfacht die Wurzel.
Übe es selbst
Komplexe Zahlen üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.