Erwartungswert- und Varianz-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| x | P(x) | x·P(x) | x²·P(x) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0,1 | 0 | 0 |
| 1 | 0,3 | 0,3 | 0,3 |
| 2 | 0,4 | 0,8 | 1,6 |
| 3 | 0,2 | 0,6 | 1,8 |
Bestimme Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen. Gib die möglichen Werte und ihre Wahrscheinlichkeiten ein; Brüche wie 1/6 sind erlaubt. Der Rechner prüft, ob sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 addieren, und zeigt die Tabelle mit x·P(x) und x²·P(x), die in der Rechnung verwendet wird.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Prüfe die Wahrscheinlichkeiten
Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung
Wichtige Formeln
- Erwartungswert
- E[X] = Σ xi·pi
- Varianz
- Var(X) = Σ pi(xi − E[X])² = E[X²] − E[X]²
- Wahrscheinlichkeiten
- Σ pi = 1
So berechnest du einen Erwartungswert
- Liste jeden möglichen Wert x und seine Wahrscheinlichkeit P(x) auf. Die Wahrscheinlichkeiten müssen sich zu 1 addieren.
- Erwartungswert: E[X] = Σ x·P(x).
- Zweites Moment: E[X²] = Σ x²·P(x).
- Varianz: Var(X) = E[X²] − (E[X])², und die Standardabweichung ist ihre Quadratwurzel.
Fragen und Antworten
Was bedeutet der Erwartungswert?
Er ist der Durchschnitt auf lange Sicht, wenn das Experiment oft wiederholt wird. Er muss keiner der möglichen Werte sein: Der Erwartungswert eines fairen Würfels ist 3,5.
Wie wird der Erwartungswert bei Spielen und Entscheidungen verwendet?
Verwende den Nettogewinn als x. Ist der erwartete Nettogewinn einer Wette negativ, verlierst du auf lange Sicht im Durchschnitt Geld, auch wenn du einzelne Spiele gewinnen kannst.
Warum erhalte ich eine Fehlermeldung, dass sich die Wahrscheinlichkeiten nicht zu 1 addieren?
Jedes Ergebnis muss genau einmal aufgeführt sein. Gerundete Dezimalzahlen wie 0,33, 0,33 und 0,33 ergeben zusammen 0,99; gib stattdessen 1/3 ein.
Wie ändern sich E[aX + b] und Var(aX + b)?
E[aX + b] = a·E[X] + b und Var(aX + b) = a²·Var(X). Das Addieren einer Konstanten verschiebt den Mittelwert, ändert aber die Streuung nicht.
Übe es selbst
Wahrscheinlichkeit üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.