Löser für lineare Gleichungssysteme (2×2 und 3×3)
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
Löse ein System aus zwei oder drei linearen Gleichungen. Tippe die Gleichungen so ein, wie du sie schreiben würdest, etwa 2x + y − z = 8, oder gib die erweiterte Koeffizientenmatrix ein. Der Rechner zeigt jede Zeilenoperation des Gauß-Jordan-Verfahrens oder die Determinanten der Cramerschen Regel, arbeitet mit exakten Brüchen und erkennt Systeme ohne Lösung oder mit unendlich vielen Lösungen, die er mit einem Parameter schreibt.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Das System
Erweiterte Koeffizientenmatrix
Stütze 1 (x): Pivot in Zeile 1
Stütze 2 (y): Pivot in Zeile 2
Stütze 3 (z): Pivot in Zeile 3
Die Lösung ablesen
In den ursprünglichen Gleichungen prüfen
Wichtige Formeln
- 2×2-Determinante
- det = ad − bc
- Inverse einer 2×2-Matrix
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- Cramersche Regel
- xi = det(Ai)/det(A)
So löst du ein lineares Gleichungssystem mit dem Eliminationsverfahren
- Schreibe das System als erweiterte Koeffizientenmatrix: eine Zeile pro Gleichung, die Koeffizienten von x, y und z und rechts vom Strich die rechte Seite.
- Wähle in der ersten Spalte ein Pivotelement (einen Eintrag ungleich null, am besten 1) und tausche es nötigenfalls in die erste Zeile.
- Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe dann Vielfache davon von den anderen Zeilen ab, damit der Rest der Spalte null wird.
- Wiederhole das für die nächste Spalte und die nächste Zeile, bis der Koeffizientenanteil in reduzierter Zeilenstufenform ist.
- Lies die Lösung ab. Eine Zeile 0 = c mit c ≠ 0 bedeutet, dass es keine Lösung gibt; eine Spalte ohne Pivotelement bedeutet eine freie Variable und unendlich viele Lösungen.
- Probe: Setze die Lösung in die ursprünglichen Gleichungen ein.
Fragen und Antworten
Wann sollte ich die Cramersche Regel verwenden?
Bei kleinen Systemen mit von null verschiedener Determinante, besonders bei 2×2. Jede Unbekannte ist ein Quotient von Determinanten: x = Dx/D. Bei größeren Systemen oder wenn D = 0 ist, geht das Eliminationsverfahren schneller und zeigt auch, ob es keine oder unendlich viele Lösungen gibt.
Woran erkenne ich, dass ein System keine Lösung hat?
Wenn das Eliminationsverfahren eine Zeile ergibt, in der alle Koeffizienten null sind, die rechte Seite aber nicht, etwa 0 = 3. Geometrisch haben die Geraden oder Ebenen keinen gemeinsamen Punkt, zum Beispiel zwei parallele Geraden.
Was bedeuten unendlich viele Lösungen?
Eine Gleichung ist eine Kombination der anderen, es gibt also weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte. Die Lösungen bilden eine Gerade oder eine Ebene und werden mit einem Parameter t geschrieben: zum Beispiel x = 2 − t, y = 1 + t, z = t.
Wie gebe ich die Gleichungen ein?
Trenne die Gleichungen durch Semikolons und schreibe den Koeffizienten vor jede Variable: 2x + 3y − z = 5; x − y = 1; 4y + z = 0. Brüche wie 1/2x und Dezimalzahlen sind erlaubt, und eine Variable kann auf beiden Seiten stehen.
Was ist der Rang?
Die Anzahl der Pivotelemente nach der Elimination, also die Anzahl der unabhängigen Gleichungen. Ein quadratisches System hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn der Rang gleich der Anzahl der Unbekannten ist, also wenn die Determinante ungleich null ist.
Übe es selbst
Matrizen & Determinanten üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.