Eigenwerte- und Eigenvektoren-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| Eigenwert | Vielfachheit | Eigenvektor | Normierter Eigenvektor |
|---|---|---|---|
| 5 | 1 | (2, 0, 1) | (0,8944, 0, 0,4472) |
| 3 | 1 | (1, 1, −1) | (0,5774, 0,5774, −0,5774) |
| 2 | 1 | (1, 0, −1) | (0,7071, 0, −0,7071) |
Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2×2- oder 3×3-Matrix. Der Rechner entwickelt det(A − λI) zum charakteristischen Polynom, löst es nach reellen oder komplexen Eigenwerten samt Vielfachheit und bestimmt die Eigenvektoren jedes reellen Eigenwerts durch Lösen von (A − λI)v = 0. Jeder Eigenvektor wird durch Berechnen von A·v überprüft, und bei mehrfachen Eigenwerten zeigt er, ob die Matrix diagonalisierbar ist.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Charakteristische Gleichung det(A − λI) = 0
Eigenwerte
Eigenvektor (λ = 5)
Eigenvektor (λ = 3)
Eigenvektor (λ = 2)
Wichtige Formeln
- Eigenwerte
- det(A − λI) = 0
So findest du Eigenwerte und Eigenvektoren
- Subtrahiere λ von jedem Diagonaleintrag von A, um A − λI zu erhalten.
- Setze die Determinante gleich null: det(A − λI) = 0. Bei einer 2×2-Matrix ist das λ² − (tr A)λ + det A = 0; bei einer 3×3-Matrix ist es eine kubische Gleichung.
- Löse die charakteristische Gleichung. Kontrolle: Die Eigenwerte ergeben als Summe die Spur und als Produkt die Determinante.
- Löse für jeden Eigenwert (A − λI)v = 0 durch Zeilenreduktion. Die Lösungen bilden eine Gerade (oder eine Ebene); jeder Vektor ungleich null darin ist ein Eigenvektor.
- Überprüfe jeden Eigenvektor: A·v muss gleich λ·v sein.
Fragen und Antworten
Wie gebe ich die Matrix ein?
Tippe die Zeilen durch Semikolons getrennt ein und die Zahlen jeder Zeile durch Leerzeichen getrennt, zum Beispiel 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 für eine 3×3-Matrix. Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt.
Warum kann eine Matrix komplexe Eigenwerte haben?
Das charakteristische Polynom kann komplexe Nullstellen haben, und bei einer reellen Matrix treten sie immer als konjugiert komplexe Paare auf. Die Drehmatrix 0 -1; 1 0 hat die Eigenwerte ±i, weil bei einer Drehung kein reeller Vektor seine Richtung behält.
Was bedeutet ein mehrfacher Eigenwert?
Eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms mit der Vielfachheit 2 oder 3. Die Matrix kann trotzdem so viele linear unabhängige Eigenvektoren haben, wie die Einheitsmatrix, oder weniger. Mit weniger ist sie defekt und nicht diagonalisierbar.
Ist der Eigenvektor eindeutig?
Nein. Jedes Vielfache eines Eigenvektors ungleich null ist ebenfalls ein Eigenvektor. Der Rechner zeigt eine einfache Form, wenn möglich mit ganzen Zahlen, und den Einheitsvektor der Länge 1.
Wofür werden Eigenwerte verwendet?
Sie liefern die Eigenfrequenzen schwingungsfähiger Systeme, die Hauptspannungen eines Spannungstensors, die Stabilität von Differentialgleichungssystemen und die Hauptrichtungen der Hauptkomponentenanalyse.
Übe es selbst
Matrizen & Determinanten üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.