Numerische Verfahren: Übungsaufgaben und Prüfungsfragen

Antworten berechnen, für die es keine Formel gibt: Nullstellen von Gleichungen mit Bisektion und Newton-Raphson, Interpolation in Tabellen, numerische Integration mit Trapez- und Simpson-Regel sowie Differentialgleichungen mit Euler, Heun und Runge-Kutta. Prüfungen verlangen einige Iterationen in einer Tabelle und die Größe des Fehlers.

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Lernpaket (PDF)Formelsammlungen, Lösungsschritte und Übungsaufgaben mit vollständigen Lösungen, druckfertig.

Themen in diesem Kurs

  1. Numerische VerfahrenNullstellen und Interpolation · Trapez- und Simpson-Regel · Euler, Heun und Runge-KuttaRechenaufgaben
  2. Folgen & Reihenarithmetische und geometrische Reihen · Konvergenz und Potenzreihen · Taylor- und Maclaurin-PolynomeRechenaufgaben
  3. Matrizen & Determinanten2×2-Determinante · 3×3 und Produkte · Eigenwerte und GleichungssystemeRechenaufgaben
  4. Differentialgleichungenexponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall · Newtonsches Abkühlungsgesetz · lineare DGL erster OrdnungRechenaufgaben

Prüfungstipps für Numerische Verfahren

  • Behalte in jeder Iterierten mindestens sechs signifikante Stellen und runde nur das Endergebnis.
  • Schreibe die Gewichte der Integrationsregel unter die Wertetabelle, bevor du etwas addierst.
  • Verwende Taylor-Polynome, um den Fehler zu erklären: Der Fehler des Euler-Verfahrens ist proportional zu h, der der Simpson-Regel zu h⁴.

Beispielaufgaben

Numerische VerfahrenLeicht

Das Bisektionsverfahren beginnt auf einem Intervall der Länge 4. Jeder Schritt halbiert das Intervall. Wie viele Schritte n sind mindestens nötig, bis das Intervall kürzer als 0,0001 ist?

b − a = 4ε = 0,0001

Gesucht: n

Tipps anzeigen
  1. Nach n Schritten hat das Intervall die Länge (b − a)/2ⁿ.
  2. Löse 4/2ⁿ < 0,0001, also 2ⁿ > 40000.
  3. n > log₂(40000) = 15,29
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Nullstellensuche und Interpolation: Das Bisektionsverfahren behält ein Intervall [a, b], auf dem f das Vorzeichen wechselt; jeder Schritt nimmt den Mittelpunkt c = (a + b)/2 und behält die Hälfte, in der das Vorzeichen noch wechselt, sodass das Intervall nach n Schritten (b − a)/2ⁿ breit ist. Das Newton-Raphson-Verfahren folgt der Tangente bis zur Achse: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); nahe einer einfachen Nullstelle verdoppelt es pro Schritt ungefähr die Zahl der richtigen Stellen. Lineare Interpolation zwischen zwei Tabellenpunkten: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).

Bedingung

4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000

Logarithmus

n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16

Probe

2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536

Antwort

n = 16
Folgen & ReihenMittel
kSn​12345678910S = ?

Bestimme die Summe S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Gesucht: S

Tipps anzeigen
  1. Partialbruchzerlegung: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Schreibe die ersten Glieder aus: Die meisten kürzen sich weg (eine Teleskopsumme).
  3. Übrig bleibt (12/3)·(1 + … + 1/3).
Antwort und Schritt-für-Schritt-Lösung anzeigen

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Partialbruchzerlegung

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Abbrechen

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Antwort

S = 7,333

So funktioniert das Üben

  • „Diesen Kurs üben“ mischt Aufgaben aus allen Themen des Kurses, wie in einer echten Prüfung.
  • Jede Aufgabe hat neue Werte, so lernst du den Lösungsweg statt einer Antwort.
  • Du hängst fest? Öffne zuerst einen kleinen Tipp und die vollständige Erklärung erst, wenn du sie brauchst.
  • Probeklausuren haben ein Zeitlimit und keine Tipps, und am Ende bekommst du deine Punktzahl und eine vollständige Auswertung.

Rechner für diesen Kurs

Rechner für Determinante und Inverse einer MatrixEigenwerte- und Eigenvektoren-RechnerRechner für Halbwertszeit und exponentiellen ZerfallLöser für lineare Gleichungssysteme (2×2 und 3×3)

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