Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium-Rechner
Gib deine Werte ein. Ergebnis und vollständiger Lösungsweg aktualisieren sich während der Eingabe.
Ergebnis
| Spalte 1 | Spalte 2 | Spalte 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Prüfe die Stabilität eines linearen Systems anhand seines charakteristischen Polynoms. Der Rechner baut das Routh-Schema mit exakten Brüchen auf, behandelt eine Null in der ersten Spalte (ε-Methode) und eine Nullzeile (Hilfspolynom), zählt die Vorzeichenwechsel und liefert die Anzahl der Nullstellen in der rechten Halbebene, auf der imaginären Achse und in der linken Halbebene.
Schritt-für-Schritt-Lösung
Charakteristisches Polynom
Die ersten beiden Zeilen
Nächste Zeilen
Zähle die Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte
Wichtige Formeln
- Stabilität
- alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms in der linken Halbebene
- Routh-Schema, Eintrag der s¹-Zeile eines kubischen Polynoms
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Wurzeln in der rechten Halbebene
- Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte
- Kubisches Polynom s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- stabil, wenn alle a > 0 und a₂·a₁ > a₀
- Charakteristische Gleichung
- 1 + K·G(s) = 0
So verwendest du das Routh-Hurwitz-Kriterium
- Schreibe das charakteristische Polynom mit allen Potenzen von s von der höchsten abwärts auf. Fehlt ein Koeffizient oder unterscheiden sich die Vorzeichen, kann das System nicht stabil sein.
- Fülle die erste Zeile mit dem 1., 3., 5., … Koeffizienten und die zweite Zeile mit dem 2., 4., 6., ….
- Jedes weitere Element ist (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, berechnet aus den beiden Zeilen darüber.
- Ist ein erstes Element null, die Zeile aber nicht, ersetze es durch ein kleines ε > 0. Ist eine ganze Zeile null, ersetze sie durch die Ableitung des Hilfspolynoms, das aus der Zeile darüber gebildet wird.
- Die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte ist gleich der Anzahl der Nullstellen in der rechten Halbebene.
Fragen und Antworten
Was bedeutet eine Nullzeile?
Das Polynom hat Nullstellen, die symmetrisch zum Ursprung liegen: Paare ±a, ±jω oder Vierergruppen. Das Hilfspolynom aus der Zeile darüber enthält genau diese Nullstellen, und seine Nullstellen auf der imaginären Achse machen das System bestenfalls grenzstabil.
Ist die ε-Methode immer zuverlässig?
Nicht, wenn Nullstellen auf der imaginären Achse liegen. Der Rechner spaltet daher zusätzlich den gemeinsamen Faktor von P(s) und P(−s) ab, der alle symmetrischen Nullstellen enthält, und zählt dessen Nullstellen auf der imaginären Achse exakt. Ändert das die Zählung, sagen die Rechenschritte es.
Wie finde ich den Bereich von K für Stabilität?
Setze die Verstärkung K in die Koeffizienten ein, baue das Schema symbolisch auf und fordere, dass jedes Element der ersten Spalte positiv ist. Dieser Rechner arbeitet mit Zahlen, sodass du damit einen Wert von K auf beiden Seiten der gefundenen Grenze überprüfen kannst.
Bedeutet ein stabiles Routh-Schema einen guten Entwurf?
Es besagt nur, dass alle Pole in der linken Halbebene liegen. Wie schnell und wie gut gedämpft die Antwort ist, hängt von der Lage der Pole ab; verwende dafür die Wurzelortskurve oder ein Bode-Diagramm.
Übe es selbst
Stabilität: Routh-Hurwitz und Wurzelortskurve üben
Ein Rechner liefert das Ergebnis. In der Prüfung brauchst du die Methode: Übe sie mit neuen Aufgaben, Tipps und Musterlösungen.