Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen
setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen
teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regel von L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

  1. Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
  2. Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
  3. Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
  4. Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode
schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
  2. Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für ex, 1/x, sin und cos.
  3. Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
  4. Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel
xyy = L

Bestimme den Grenzwert L = limx→∞ (1 − 2/x)x. Gib einen Dezimalwert an.

f(x) = (1 − 2/x)xx → ∞
L =
2.GrenzwerteSchwer
xyx = 0

Bestimme den Grenzwert L = limx→0 ln(1 + 3x)/sin(2x), mit x im Bogenmaß.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0
L =
3.AbleitungenMittel
xyx = 2

Gegeben ist f(x) = (2x − 1)3. Bestimme f′(2).

f(x) = (2x − 1)3x = 2
f′(2) =
4.AbleitungenSchwer
xy

Gegeben ist f(x) = x3 + 1,5x2 − 6x − 3. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x3 + 1,5x2 − 6x − 3
x =
5.OptimierungMittel
xhxohne Deckel

Eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 13500 cm³ fassen. Verwende möglichst wenig Material, also die kleinste Fläche aus Boden und vier Seiten. Bestimme die minimale Oberfläche S.

V = 13500 cm³
S = cm²
6.OptimierungSchwer
p (€)R(p)10jetzt

Ein Theater verkauft pro Vorstellung 140 Karten zu je 10 €. Laut Marktforschung werden bei jeder Preiserhöhung um 1 € 10 Karten weniger verkauft (und bei jeder Senkung um 1 € 10 mehr). Bestimme den Kartenpreis p, der den Umsatz maximiert.

140 × €1010 / €1
p = €
7.IntegraleMittel
xy11,5y = x ln x

Berechne I = ∫₁1,5 x·ln x dx.

∫₁1,5 x ln x dx
I =
8.IntegraleSchwer
xy−22

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.

y = 4 − x²
A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = 0,1353

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Den Logarithmus bilden

ln L = limx→∞ x·ln(1 − 2/x)

Auswerten

ln(1 + u)/u → 1 für u → 0, also x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Den Logarithmus rückgängig machen

L = e−2 = 0,1353

Antwort

L = 0,1353
2.Grenzwerte

Antwort: L = 1,5

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Regel von L'Hôpital

L = limx→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

x = 0 einsetzen

L = 3/2 = 1,5

Antwort

L = 1,5
3.Ableitungen

Antwort: f′(2) = 54

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 3·(2x − 1)2·2

Einsetzen

f′(2) = 3·32·2 = 54

Antwort

f′(2) = 54
4.Ableitungen

Antwort: x = −2

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Ableitung

f′(x) = 3x2 + 3x − 6 = 3·(x2 + x − 2)

f′(x) = 0 lösen

x = −2 oder x = 1

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 3: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9
x = −2

Antwort

x = −2
5.Optimierung

Antwort: S = 2700 cm²

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Flächeninhalt als Funktion von x

S(x) = x² + 54000/x

Ableitung gleich null setzen

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, also ist das ein Minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Höhe und Oberfläche

h = 13500/30² = 15 cm
S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Antwort

S = 2700 cm²

Die beste offene Schachtel ist halb so hoch wie breit.

6.Optimierung

Antwort: p = 12 €

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Umsatz als Funktion des Preises

n(p) = 240 − 10p
R(p) = 240p − 10p²

Ableitung gleich null setzen

R″(p) = −20 < 0, also ist das ein Maximum.

p = 240/20 = €12

Maximaler Umsatz

n = 240 − 10·12 = 120
R = 12·120 = €1440

Antwort

p = €12
7.Integrale

Antwort: I = 0,1436

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Stammfunktion

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Grenzwerte

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Antwort

I = 0,1436
8.Integrale

Antwort: A = 10,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrieren

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Antwort

A = 10,67

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