Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen: setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen: teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel von L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode: schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→∞ (√(x² − 10x) − x).

f(x) = √(x² − 10x) − xx → ∞

L =

2.GrenzwerteSchwer

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(4x²), mit x im Bogenmaß.

f(x) = (1 − cos 2x)/(4x²)x → 0

L =

3.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = (4x − 3)³. Bestimme f′(0).

f(x) = (4x − 3)³x = 0

f′(0) =

4.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ + 1,5x² − 4. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x³ + 1,5x² − 4

x =

5.OptimierungMittel

Eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 13500 cm³ fassen. Verwende möglichst wenig Material, also die kleinste Fläche aus Boden und vier Seiten. Bestimme die minimale Oberfläche S.

V = 13500 cm³

S = cm²

6.OptimierungSchwer

Ein Theater verkauft pro Vorstellung 725 Karten zu je 15 €. Laut Marktforschung werden bei jeder Preiserhöhung um 1 € 25 Karten weniger verkauft (und bei jeder Senkung um 1 € 25 mehr). Bestimme den Kartenpreis p, der den Umsatz maximiert.

725 × €1525 / €1

p = €

7.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₁^1,5 x·ln x dx.

∫₁^1,5 x ln x dx

I =

8.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = x² und y = 2x eingeschlossen wird.

y = x²y = 2x

A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = −5

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Mit der Konjugierten erweitern

f(x) = −10x/(√(x² − 10x) + x)

Durch x teilen

f(x) = −10/(√(1 + (−10)/x) + 1)

x → ∞ laufen lassen

L = −10/(1 + 1) = −5

Antwort

L = −5

2.Grenzwerte

Antwort: L = 0,5

Erste Anwendung

2·sin 2x/(8x) → 0/0

Zweite Anwendung

4·cos 2x/8

x = 0 einsetzen

L = 4/8 = 0,5

Antwort

L = 0,5

3.Ableitungen

Antwort: f′(0) = 108

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 3·(4x − 3)²·4

Einsetzen

f′(0) = 3·(−3)²·4 = 108

Antwort

f′(0) = 108

4.Ableitungen

Antwort: x = −1

Ableitung

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

f′(x) = 0 lösen

x = −1 oder x = 0

Welches ist welches

f″(x) = 6x + 3: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

Antwort

x = −1

5.Optimierung

Antwort: S = 2700 cm²

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Flächeninhalt als Funktion von x

S(x) = x² + 54000/x

Ableitung gleich null setzen

S″(x) = 2 + 108000/x³ > 0, also ist das ein Minimum.

x³ = 27000 → x = 30 cm

Höhe und Oberfläche

h = 13500/30² = 15 cm

S = 30² + 54000/30 = 2700 cm²

Antwort

S = 2700 cm²

Die beste offene Schachtel ist halb so hoch wie breit.

6.Optimierung

Antwort: p = 22 €

Umsatz als Funktion des Preises

n(p) = 1100 − 25p

R(p) = 1100p − 25p²

Ableitung gleich null setzen

R″(p) = −50 < 0, also ist das ein Maximum.

p = 1100/50 = €22

Maximaler Umsatz

n = 1100 − 25·22 = 550

R = 22·550 = €12100

Antwort

p = €22

7.Integrale

Antwort: I = 0,1436

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Stammfunktion

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Grenzwerte

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

Antwort

I = 0,1436

8.Integrale

Antwort: A = 1,333

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Schnittpunkte

x² = 2x → x = 0, x = 2

Obere minus untere integrieren

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

Antwort

A = 1,333

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