Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen: setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen: teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel von L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode: schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→∞ (4x² + 5x + 4)/(x² + 2x + 6).

f(x) = (4x² + 5x + 4)/(x² + 2x + 6)x → ∞

L =

2.GrenzwerteSchwer

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(3x²), mit x im Bogenmaß.

f(x) = (1 − cos 3x)/(3x²)x → 0

L =

3.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x³·e^−x. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x³·e^−xx = 1,5

f′(1.5) =

4.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x − 3. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ − 12x − 3

x =

5.OptimierungMittel

Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 500 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die kleinstmögliche Oberfläche A.

V = 500 cm³

A = cm²

6.OptimierungSchwer

Ein kleines Unternehmen verkauft sein Produkt zu einem festen Marktpreis von 30 € pro Stück. Die Produktion von q Stück kostet C(q) = 1200 + 12q + 0,02q² Euro. Bestimme die Produktionsmenge q, die den Gewinn maximiert.

p = €30C = 1200 + 12q + 0,02q²

q = Stück

7.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀^π/2 x·sin x dx (x im Bogenmaß).

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

8.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 9 − x² und der x-Achse.

y = 9 − x²

A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = 4

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Durch die höchste Potenz teilen

(4 + 5/x + 4/x²)/(1 + 2/x + 6/x²)

x → ∞ laufen lassen

L = 4/1 = 4

Antwort

L = 4

Bei gleichem Grad ist der Grenzwert das Verhältnis der Leitkoeffizienten.

2.Grenzwerte

Antwort: L = 1,5

Erste Anwendung

3·sin 3x/(6x) → 0/0

Zweite Anwendung

9·cos 3x/6

x = 0 einsetzen

L = 9/6 = 1,5

Antwort

L = 1,5

3.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = 0,7531

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

Einsetzen

f′(1,5) = 0,2231·(6,75 + (−3,375)) = 0,7531

Antwort

f′(1,5) = 0,7531

4.Ableitungen

Antwort: x = 2

Ableitung

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 lösen

x = −2 oder x = 2

Welches ist welches

f″(x) = 6x: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

Antwort

x = 2

5.Optimierung

Antwort: A = 348,7 cm²

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Oberfläche als Funktion von r

h = 500/(πr²)

A(r) = 2πr² + 1000/r

Ableitung gleich null setzen

A″(r) = 4π + 2000/r³ > 0, also ist das ein Minimum.

4πr − 1000/r² = 0 → r = ∛(500/(2π)) = 4,301 cm

Höhe und Oberfläche

h = 500/(π·4,301²) = 2r = 8,603 cm

A = 2π·4,301² + 1000/4,301 = 348,7 cm²

Antwort

A = 348,7 cm²

Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.

6.Optimierung

Antwort: q = 450 Stück

Gewinnfunktion

P(q) = 30q − (1200 + 12q + 0,02q²) = −0,02q² + 18q − 1200

Ableitung gleich null setzen

P″(q) = −0,04 < 0, also ist das ein Maximum.

18 − 0,04q = 0 → q = 450

Maximaler Gewinn

P = 18·450 − 0,02·450² − 1200 = €2850

Antwort

q = 450

7.Integrale

Antwort: I = 1

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Stammfunktion

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Grenzwerte

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

Antwort

I = 1

8.Integrale

Antwort: A = 36

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

9 − x² = 0 → x = ±3

Integrieren

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

Antwort

A = 36

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