Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Bestimme den Grenzwert L = limx→∞ (−2x3 − 2x − 2)/(x3 + 6x + 9).
Bestimme den Grenzwert L = limx→0 (e−2x − 1 + 2x)/x².
Gegeben ist f(x) = ln(3x2 + 2). Bestimme f′(3).
Die Tangente an f(x) = 0,5x2 − 3x + 5 bei x = 2 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.
Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 250 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die Höhe h der Dose, bei der am wenigsten Material verbraucht wird.
Ein Unternehmen verkauft q Stück pro Woche. Der Preis, zu dem es sie verkaufen kann, ist p = 90 − 0,2q Euro pro Stück, und die Kosten sind C(q) = 600 + 40q Euro. Bestimme den maximalen Wochengewinn P.
Das Gebiet unter y = 3x von x = 0 bis x = 2 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Kegel).
Das Gebiet zwischen der Geraden y = 2x und der Parabel y = 2x² wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers.
Antwort: L = −2
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
Bei gleichem Grad ist der Grenzwert das Verhältnis der Leitkoeffizienten.
Antwort: L = 2
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
Antwort: f′(3) = 0,6207
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Antwort: b = 3
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Antwort: h = 6,828 cm
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0, also ist das ein Minimum.
Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.
Antwort: P = 2525 €
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
P″(q) = −0,4 < 0, also ist das ein Maximum.
Antwort: V = 75,4
Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.
Kontrolle: Ein Kegel mit dem Radius 6 und der Höhe 2 hat (1/3)πr²h = 75,4.
Antwort: V = 1,676
Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.
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