Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen: setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen: teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel von L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode: schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x. Gib einen Dezimalwert an.

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.GrenzwerteSchwer

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→0 (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x².

f(x) = (e^1,5x − 1 − 1,5x)/x²x → 0

L =

3.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·sin(x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x·sin(x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.AbleitungenSchwer

Die Tangente an f(x) = −x² − 2x + 1 bei x = 1 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.

f(x) = −x² − 2x + 1x = 1

b =

5.OptimierungMittel

Eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 62500 cm³ fassen. Verwende möglichst wenig Material, also die kleinste Fläche aus Boden und vier Seiten. Bestimme die Grundseite x.

V = 62500 cm³

x = cm

6.OptimierungSchwer

Ein Unternehmen verkauft q Stück pro Woche. Der Preis, zu dem es sie verkaufen kann, ist p = 70 − 1q Euro pro Stück, und die Kosten sind C(q) = 400 + 20q Euro. Bestimme den Preis p, der den Gewinn maximiert.

p = 70 − 1qC = 400 + 20q

p = €

7.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

8.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 2x² und y = 2x eingeschlossen wird.

y = 2x²y = 2x

A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = 0,1353

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Den Logarithmus bilden

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

Auswerten

ln(1 + u)/u → 1 für u → 0, also x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−2) = −2

Den Logarithmus rückgängig machen

L = e⁻² = 0,1353

Antwort

L = 0,1353

2.Grenzwerte

Antwort: L = 1,125

Erste Anwendung

(1,5·e^1,5x − 1,5)/(2x) → 0/0

Zweite Anwendung

2,25·e^1,5x/2

x = 0 einsetzen

L = 2,25·1/2 = 1,125

Antwort

L = 1,125

3.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = 1,104

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produkt- und Kettenregel

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Einsetzen

f′(1,5) = 0,9975 + 1,5·0,07074 = 1,104

Antwort

f′(1,5) = 1,104

4.Ableitungen

Antwort: b = 2

Punkt und Steigung

f(1) = −2

f′(x) = −2x − 2 → f′(1) = −4

Tangente bei x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − (−4)·1 = 2

Antwort

b = 2

5.Optimierung

Antwort: x = 50 cm

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Flächeninhalt als Funktion von x

S(x) = x² + 250000/x

Ableitung gleich null setzen

S″(x) = 2 + 500000/x³ > 0, also ist das ein Minimum.

x³ = 125000 → x = 50 cm

Höhe und Oberfläche

h = 62500/50² = 25 cm

S = 50² + 250000/50 = 7500 cm²

Antwort

x = 50 cm

Die beste offene Schachtel ist halb so hoch wie breit.

6.Optimierung

Antwort: p = 45 €

Gewinnfunktion

P(q) = (70 − 1q)·q − (400 + 20q) = −q² + 50q − 400

Ableitung gleich null setzen

P″(q) = −2 < 0, also ist das ein Maximum.

q = 50/2 = 25

Preis und Gewinn

p = 70 − 1·25 = €45

P = 50·25 − 1·25² − 400 = €225

Antwort

p = €45

7.Integrale

Antwort: I = 0,6363

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

Stammfunktion

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

Grenzwerte

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

Antwort

I = 0,6363

8.Integrale

Antwort: A = 0,3333

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Schnittpunkte

2x² = 2x → x = 0, x = 1

Obere minus untere integrieren

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

Antwort

A = 0,3333

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