Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Bestimme den Grenzwert L = limx→∞ (√(4x2 − 3x) − 2x).
Bestimme den Grenzwert L = limx→0 (1 − cos 2x)/(2x²), mit x im Bogenmaß.
Gegeben ist f(x) = x·sin(x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(1,5).
Die Tangente an f(x) = 2x2 − 4x + 4 bei x = 3 schneidet die y-Achse bei y = b. Bestimme b.
Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 750 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die Höhe h der Dose, bei der am wenigsten Material verbraucht wird.
Ein Theater verkauft pro Vorstellung 1700 Karten zu je 25 €. Laut Marktforschung werden bei jeder Preiserhöhung um 1 € 50 Karten weniger verkauft (und bei jeder Senkung um 1 € 50 mehr). Bestimme den maximalen Umsatz R pro Vorstellung.
Berechne I = ∫02 2x·(x² + 1)2 dx.
Berechne I = ∫₀2 x²·eˣ dx.
Antwort: L = −0,75
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
Antwort: L = 1
Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).
Antwort: f′(1.5) = 1,104
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Antwort: b = −14
Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.
Antwort: h = 9,847 cm
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0, also ist das ein Minimum.
Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.
Antwort: R = 43513 €
Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.
R″(p) = −100 < 0, also ist das ein Maximum.
Antwort: I = 41,33
Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.
Antwort: I = 12,78
Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.
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