Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen
setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen
teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regel von L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

  1. Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
  2. Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
  3. Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
  4. Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode
schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
  2. Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für ex, 1/x, sin und cos.
  3. Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
  4. Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel
xyy = L

Bestimme den Grenzwert L = limx→∞ (1 + 0,5/x)3x. Gib einen Dezimalwert an.

f(x) = (1 + 0,5/x)3xx → ∞
L =
2.GrenzwerteSchwer
xyx = 0

Bestimme den Grenzwert L = limx→0 (1 − cos 2x)/(3x²), mit x im Bogenmaß.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0
L =
3.AbleitungenMittel
xyx = 0

Gegeben ist f(x) = (2x − 3)3. Bestimme f′(0).

f(x) = (2x − 3)3x = 0
f′(0) =
4.AbleitungenSchwer
xy

Gegeben ist f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 1. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Maximums.

f(x) = x3 − 13,5x2 + 54x + 1
x =
5.OptimierungMittel
rh

Eine geschlossene zylindrische Dose (mit Deckel und Boden) soll 1000 cm³ fassen. Der Materialverbrauch ist proportional zur gesamten Oberfläche. Bestimme die Höhe h der Dose, bei der am wenigsten Material verbraucht wird.

V = 1000 cm³
h = cm
6.OptimierungSchwer
qP(q)Maximum

Ein kleines Unternehmen verkauft sein Produkt zu einem festen Marktpreis von 60 € pro Stück. Die Produktion von q Stück kostet C(q) = 7300 + 38q + 0,01q² Euro. Bestimme die Produktionsmenge q, die den Gewinn maximiert.

p = €60C = 7300 + 38q + 0,01q²
q = Stück
7.IntegraleMittel
xy01

Berechne I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
8.IntegraleSchwer
xy−22

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.

y = 4 − x²
A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = 4,482

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Den Logarithmus bilden

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 0,5/x)

Auswerten

ln(1 + u)/u → 1 für u → 0, also x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·0,5 = 1,5

Den Logarithmus rückgängig machen

L = e1,5 = 4,482

Antwort

L = 4,482
2.Grenzwerte

Antwort: L = 0,6667

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Erste Anwendung

2·sin 2x/(6x) → 0/0

Zweite Anwendung

4·cos 2x/6

x = 0 einsetzen

L = 4/6 = 0,6667

Antwort

L = 0,6667
3.Ableitungen

Antwort: f′(0) = 54

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Kettenregel

f′(x) = 3·(2x − 3)2·2

Einsetzen

f′(0) = 3·(−3)2·2 = 54

Antwort

f′(0) = 54
4.Ableitungen

Antwort: x = 3

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Ableitung

f′(x) = 3x2 − 27x + 54 = 3·(x2 − 9x + 18)

f′(x) = 0 lösen

x = 3 oder x = 6

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 27: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(3) = −9, f″(6) = 9
x = 3

Antwort

x = 3
5.Optimierung

Antwort: h = 10,84 cm

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Oberfläche als Funktion von r

h = 1000/(πr²)
A(r) = 2πr² + 2000/r

Ableitung gleich null setzen

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0, also ist das ein Minimum.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

Höhe und Oberfläche

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm
A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

Antwort

h = 10,84 cm

Die günstigste geschlossene Dose ist so hoch wie breit: h = 2r.

6.Optimierung

Antwort: q = 1100 Stück

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Gewinnfunktion

P(q) = 60q − (7300 + 38q + 0,01q²) = −0,01q2 + 22q − 7300

Ableitung gleich null setzen

P″(q) = −0,02 < 0, also ist das ein Maximum.

22 − 0,02q = 0 → q = 1100

Maximaler Gewinn

P = 22·1100 − 0,01·1100² − 7300 = €4800

Antwort

q = 1100
7.Integrale

Antwort: I = 3,75

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Substitution

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du

Integrieren und auswerten

I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75

Antwort

I = 3,75
8.Integrale

Antwort: A = 10,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrieren

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Antwort

A = 10,67

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