Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen: setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen: teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel von L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode: schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x).

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.GrenzwerteSchwer

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→0 (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x².

f(x) = (e^0,5x − 1 − 0,5x)/x²x → 0

L =

3.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x²·e^−0,5x. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x²·e^−0,5xx = 1,5

f′(1.5) =

4.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x² + 45x. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ − 12x² + 45x

x =

5.OptimierungMittel

Eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 108000 cm³ fassen. Verwende möglichst wenig Material, also die kleinste Fläche aus Boden und vier Seiten. Bestimme die Grundseite x.

V = 108000 cm³

x = cm

6.OptimierungSchwer

Ein kleines Unternehmen verkauft sein Produkt zu einem festen Marktpreis von 50 € pro Stück. Die Produktion von q Stück kostet C(q) = 800 + 40q + 0,02q² Euro. Bestimme die Produktionsmenge q, die den Gewinn maximiert.

p = €50C = 800 + 40q + 0,02q²

q = Stück

7.IntegraleMittel

Berechne I = ∫₀¹ x·sin x dx (x im Bogenmaß).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.IntegraleSchwer

Das Gebiet zwischen der Geraden y = x und der Parabel y = 0,5x² wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers.

y = xy = 0,5x²

V =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = 4

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Mit der Konjugierten erweitern

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

Durch x teilen

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

x → ∞ laufen lassen

L = 8/(1 + 1) = 4

Antwort

L = 4

2.Grenzwerte

Antwort: L = 0,125

Erste Anwendung

(0,5·e^0,5x − 0,5)/(2x) → 0/0

Zweite Anwendung

0,25·e^0,5x/2

x = 0 einsetzen

L = 0,25·1/2 = 0,125

Antwort

L = 0,125

3.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = 0,8857

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produktregel

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0,5x·(2x + (−0,5)·x²)

Einsetzen

f′(1,5) = 0,4724·(3 + (−1,125)) = 0,8857

Antwort

f′(1,5) = 0,8857

4.Ableitungen

Antwort: x = 5

Ableitung

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

f′(x) = 0 lösen

x = 3 oder x = 5

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 24: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

Antwort

x = 5

5.Optimierung

Antwort: x = 60 cm

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Flächeninhalt als Funktion von x

S(x) = x² + 432000/x

Ableitung gleich null setzen

S″(x) = 2 + 864000/x³ > 0, also ist das ein Minimum.

x³ = 216000 → x = 60 cm

Höhe und Oberfläche

h = 108000/60² = 30 cm

S = 60² + 432000/60 = 10800 cm²

Antwort

x = 60 cm

Die beste offene Schachtel ist halb so hoch wie breit.

6.Optimierung

Antwort: q = 250 Stück

Gewinnfunktion

P(q) = 50q − (800 + 40q + 0,02q²) = −0,02q² + 10q − 800

Ableitung gleich null setzen

P″(q) = −0,04 < 0, also ist das ein Maximum.

10 − 0,04q = 0 → q = 250

Maximaler Gewinn

P = 10·250 − 0,02·250² − 800 = €450

Antwort

q = 250

7.Integrale

Antwort: I = 0,3012

Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.

u und dv wählen

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

Stammfunktion

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

Grenzwerte

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

Antwort

I = 0,3012

8.Integrale

Antwort: V = 3,351

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Schnittpunkte

1x = 0,5x² → x = 0, x = 2

Ringmethode

V = π∫₀² ((1x)² − (0,5x²)²) dx

Integrieren

V = π(1·2³/3 − 0,25·2⁵/5) = π·1,067 = 3,351

Antwort

V = 3,351

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