Analysis 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Grenzwerte

Direktes Einsetzen: setze zuerst x = a ein; 0/0 bedeutet: vereinfachen
Faktorisieren und kürzen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Konjugierte: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Grenzwerte im Unendlichen: teile durch die höchste Potenz von x; bei gleichem Grad ergibt sich das Verhältnis der Leitkoeffizienten
Spezieller Grenzwert: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel von L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Ableitungen

Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotientenregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettenregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Wichtige Ableitungen: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Erkenne die Struktur: Summe, Produkt, Quotient oder Verkettung.
Wende die Potenzregel auf jede Potenz von x an.
Verwende bei Bedarf Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel.
Vereinfache und werte an der Stelle aus, falls verlangt.

Optimierung

Methode: schreibe Q(x) mit einer Variablen, löse Q′(x) = 0, prüfe Q″ oder die Randpunkte
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Geschlossener Zylinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Gewinn: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

2Übungsaufgaben

1.GrenzwerteMittel

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→∞ (−2x³ + x − 5)/(x³ + x + 2).

f(x) = (−2x³ + x − 5)/(x³ + x + 2)x → ∞

L =

2.GrenzwerteSchwer

Bestimme den Grenzwert L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x².

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.AbleitungenMittel

Gegeben ist f(x) = x·sin(2x), mit x im Bogenmaß. Bestimme f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.AbleitungenSchwer

Gegeben ist f(x) = x³ − 12x² + 45x − 3. Bestimme die x-Koordinate x des lokalen Minimums.

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 3

x =

5.OptimierungMittel

Eine offene Schachtel (ohne Deckel) mit quadratischer Grundfläche soll 4000 cm³ fassen. Verwende möglichst wenig Material, also die kleinste Fläche aus Boden und vier Seiten. Bestimme die minimale Oberfläche S.

V = 4000 cm³

S = cm²

6.OptimierungSchwer

Ein Theater verkauft pro Vorstellung 490 Karten zu je 20 €. Laut Marktforschung werden bei jeder Preiserhöhung um 1 € 10 Karten weniger verkauft (und bei jeder Senkung um 1 € 10 mehr). Bestimme den Kartenpreis p, der den Umsatz maximiert.

490 × €2010 / €1

p = €

7.IntegraleMittel

Das Gebiet unter y = √(4x) von x = 0 bis x = 4 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Paraboloid).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 4

V =

8.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.

y = 4 − x²

A =

3Lösungen

1.Grenzwerte

Antwort: L = −2

Grenzwerte: Versuche zuerst direktes Einsetzen. Ergibt sich 0/0, vereinfache zuerst: faktorisiere und kürze den gemeinsamen Faktor oder erweitere mit der Konjugierten. Für x → ∞ teilst du Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von x. Regel von L'Hôpital: Ergibt f/g die Form 0/0 oder ∞/∞, dann ist lim f/g = lim f′/g′, wobei Zähler und Nenner getrennt abgeleitet werden (nicht mit der Quotientenregel).

Durch die höchste Potenz teilen

(−2 + 1/x² + (−5)/x³)/(1 + 1/x² + 2/x³)

x → ∞ laufen lassen

L = −2/1 = −2

Antwort

L = −2

Bei gleichem Grad ist der Grenzwert das Verhältnis der Leitkoeffizienten.

2.Grenzwerte

Antwort: L = 4,5

Erste Anwendung

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

Zweite Anwendung

9·e^3x/2

x = 0 einsetzen

L = 9·1/2 = 4,5

Antwort

L = 4,5

3.Ableitungen

Antwort: f′(1.5) = −2,829

Differenzieren: Die Ableitung f′(x) ist die Steigung des Graphen bei x. Potenzregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettenregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Wo f′(x) = 0 ist, hat der Graph eine waagerechte Tangente: ein Maximum, Minimum oder einen Sattelpunkt.

Produkt- und Kettenregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Einsetzen

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

Antwort

f′(1,5) = −2,829

4.Ableitungen

Antwort: x = 5

Ableitung

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

f′(x) = 0 lösen

x = 3 oder x = 5

Welches ist welches

f″(x) = 6x − 24: negativ an einem Maximum, positiv an einem Minimum.

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

Antwort

x = 5

5.Optimierung

Antwort: S = 1200 cm²

Optimierung: Schreibe die zu optimierende Größe als Funktion einer Variablen und eliminiere die andere mit der Nebenbedingung. Setze die Ableitung gleich null und löse. Prüfe, ob der kritische Punkt ein Maximum oder Minimum ist (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung) und ob er im zulässigen Bereich liegt; ein Randpunkt wie eine Seitenlänge null ist nicht die Lösung.

Flächeninhalt als Funktion von x

S(x) = x² + 16000/x

Ableitung gleich null setzen

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0, also ist das ein Minimum.

x³ = 8000 → x = 20 cm

Höhe und Oberfläche

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

Antwort

S = 1200 cm²

Die beste offene Schachtel ist halb so hoch wie breit.

6.Optimierung

Antwort: p = 34,5 €

Umsatz als Funktion des Preises

n(p) = 690 − 10p

R(p) = 690p − 10p²

Ableitung gleich null setzen

R″(p) = −20 < 0, also ist das ein Maximum.

p = 690/20 = €34,5

Maximaler Umsatz

n = 690 − 10·34,5 = 345

R = 34,5·345 = €11903

Antwort

p = €34,5

7.Integrale

Antwort: V = 100,5

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀⁴ 4x dx

Integrieren

V = π·4·4²/2 = 100,5

Antwort

V = 100,5

8.Integrale

Antwort: A = 10,67

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Nullstellen

4 − x² = 0 → x = ±2

Integrieren

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

Antwort

A = 10,67

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