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1Formeln und Methoden
Integrale
Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven
∫ab (f − g) dx
Methode
Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für ex, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Analysis mehrerer Variablen
Partielle Ableitungen
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtungsableitung
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Tangentialebene
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettenregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test mit der zweiten Ableitung
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Doppelintegral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polarkoordinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Methode
Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (fx, fy) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
Löse für Extrema fx = 0 und fy = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = fxx·fyy − fxy².
Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.IntegraleMittel
Berechne I = ∫01 2x·(x² + 1)3 dx.
f(x) = 2x·(x² + 1)3[0, 1]
I =
2.IntegraleSchwer
Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 9 − x² und der x-Achse.
y = 9 − x²
A =
3.Folgen & ReihenMittel
Bestimme den Konvergenzradius R der Potenzreihe Σk=1∞ (2k)!·xᵏ/(k!)².
Σ (2k)!·xᵏ/(k!)²x₀ = 0
R =
4.Folgen & ReihenSchwer
Erkenne die Reihe und bestimme ihre Summe: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ/k!.
ak = (−1)ᵏ/k!
S =
5.Analysis mehrerer VariablenMittel
Bestimme für f(x, y) = x²e−y die maximale Änderungsrate von f im Punkt (0,5, 1), also |∇f|.
f(x, y) = x²e−yP = (0,5, 1)
|∇f| =
6.Analysis mehrerer VariablenSchwer
Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.
f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy
fmin =
7.DifferentialgleichungenMittel
Ein geschmiedetes Stahlteil mit 500 °C kühlt in einer Werkstatt mit 23 °C ab. Nach 55 min beträgt die Temperatur 53 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme die Konstante k in min⁻¹.
T0 = 500 °CTa = 23 °CT(55) = 53 °C
k = min⁻¹
8.DifferentialgleichungenSchwer
Ein Behälter enthält 1000 L Wasser, in dem 20 kg Salz gelöst sind. Salzlösung mit 0,1 kg Salz pro Liter fließt mit 5 L/min zu, und die gut durchmischte Lösung fließt mit derselben Rate ab. Wie viel Salz m ist nach 10 min im Behälter?
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3Lösungen
1.Integrale
Antwort: I = 3,75
Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.
Substitution
u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫12 u3 du
Integrieren und auswerten
I = [u4/4]12 = (16 − 1)/4 = 3,75
Antwort
I = 3,75
2.Integrale
Antwort: A = 36
Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.
Nullstellen
9 − x² = 0 → x = ±3
Integrieren
A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36
Antwort
A = 36
3.Folgen & Reihen
Antwort: R = 0,25
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Koeffizienten
ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, also R = 1/4
Radius
R = 0,25
Antwort
R = 0,25
Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.
4.Folgen & Reihen
Antwort: S = 0,3679
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Standardreihen
Σ xᵏ/k! = eˣ
Einsetzen
x = −1
S = e−1 = 0,3679
Antwort
S = 0,3679
5.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: |∇f| = 0,3792
Gradient: ∇f = (fx, fy) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, und |∇f| ist die größte Änderungsrate. Die Richtungsableitung in Richtung v ist Duf = ∇f·u mit dem Einheitsvektor u = v/|v|. Die Tangentialebene in (a, b) ist z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); sie liefert die lineare Näherung von f in der Nähe dieses Punktes. Kettenregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Partielle Ableitungen
fx = 2xe−y → fx(0,5, 1) = 0,3679
fy = −x²e−y → fy(0,5, 1) = −0,09197
Länge des Gradienten
|∇f| = √(0,3679² + (−0,09197)²) = 0,3792
Antwort
|∇f| = 0,3792
6.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: fmin = −32
Kritische Punkte und Doppelintegrale: Ein kritischer Punkt hat fx = fy = 0. Test mit der zweiten Ableitung mit D = fxxfyy − fxy²: D > 0 und fxx > 0 ist ein lokales Minimum, D > 0 und fxx < 0 ein lokales Maximum, D < 0 ein Sattelpunkt, und D = 0 entscheidet nichts. Für ein Doppelintegral über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die den Bereich begrenzen; für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten, x = r cos θ, y = r sin θ und dA = r dr dθ (vergiss den Faktor r nicht).
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Verhältnis der Temperaturdifferenzen
e−55k = 30/477
Nach k auflösen
k = ln(477/30)/55 = 0,0503 min⁻¹
Antwort
k = 0,0503 min⁻¹
8.Differentialgleichungen
Antwort: m = 23,9 kg
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Die Gleichung aufstellen
dm/dt = 5·0,1 − (5/1000)·m = 0,5 − 0,005·m
Lösen
Der integrierende Faktor ist ert/V; die Lösung nähert sich dem Gleichgewicht c·V.