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1Formeln und Methoden
Integrale
Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven
∫ab (f − g) dx
Methode
Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für ex, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Analysis mehrerer Variablen
Partielle Ableitungen
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtungsableitung
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Tangentialebene
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettenregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test mit der zweiten Ableitung
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Doppelintegral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polarkoordinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Methode
Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (fx, fy) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
Löse für Extrema fx = 0 und fy = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = fxx·fyy − fxy².
Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.IntegraleMittel
Berechne I = ∫₁2 x·ln x dx.
∫₁2 x ln x dx
I =
2.IntegraleSchwer
Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 0,5x2 und y = x eingeschlossen wird.
y = 0,5x2y = x
A =
3.Folgen & ReihenMittel
Bestimme die Summe S = Σk=1∞ 3/(k(k + 4)).
ak = 3/(k(k + 4))
S =
4.Folgen & ReihenSchwer
f(x) = cos x wird durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad 5 bei x = 0,3 angenähert. Verwende die Lagrangesche Fehlerschranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! mit M = 1, um den größtmöglichen Fehler |R₅| zu bestimmen.
f(x) = cos xn = 5x = 0,3M = 1
|R₅| =
5.Analysis mehrerer VariablenMittel
Die Tangentialebene an z = 4x²y³ + 3x² − 3y³ + 3xy im Punkt (x, y) = (3, 2) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.
f(x, y) = 4x²y³ + 3x² − 3y³ + 3xy(a, b) = (3, 2)
c =
6.Analysis mehrerer VariablenSchwer
Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x² − 2xy + 3y² − 6x + 6y − 1, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.
f(x, y) = x² − 2xy + 3y² − 6x + 6y − 1
fmin =
7.DifferentialgleichungenMittel
Eine Getränkedose mit 6 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 26 °C gebracht. Nach 10 min beträgt die Temperatur 13 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Wie lange nach dem Start, t, dauert es, bis 19 °C erreicht sind?
T0 = 6 °CTa = 26 °CT(10) = 13 °CT = 19 °C
t = min
8.DifferentialgleichungenSchwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + 3y/x = 2 für x > 0 mit y(1) = −2. Bestimme y(3).
y′ + 3y/x = 2y(1) = −2
y(3) =
3Lösungen
1.Integrale
Antwort: I = 0,6363
Partielle Integration: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, aus der Produktregel. Wähle u als den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird (eine Potenz von x oder ln x), und dv als den Faktor, den du integrieren kannst (eˣ, sin x, cos x oder x, wenn u = ln x). Werte bei einem bestimmten Integral u·v an beiden Grenzen aus: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Ein Faktor x² braucht zwei Runden.
u und dv wählen
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
Stammfunktion
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
Grenzwerte
(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363
Antwort
I = 0,6363
2.Integrale
Antwort: A = 0,6667
Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.
Schnittpunkte
0,5x2 = x → x = 0, x = 2
Obere minus untere integrieren
A = [0,5x2 − 0,1667x3]02 = 0,6667
Antwort
A = 0,6667
3.Folgen & Reihen
Antwort: S = 1,562
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Partialbruchzerlegung
3/(k(k + 4)) = (3/4)·(1/k − 1/(k + 4))
Abbrechen
S = (3/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 1,562
Antwort
S = 1,562
4.Folgen & Reihen
Antwort: |R₅| = 1,012 × 10⁻⁶
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Schranke für die Ableitung
M = 1
Lagrangesche Schranke
|R₅| ≤ 1·0,3⁶/6! = 1,012 × 10⁻⁶
Antwort
|R₅| = 1,012 × 10⁻⁶
Der wahre Fehler ist kleiner: |f(0,3) − P₅(0,3)| = 1,011 × 10⁻⁶.
5.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: c = −1149
Gradient: ∇f = (fx, fy) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, und |∇f| ist die größte Änderungsrate. Die Richtungsableitung in Richtung v ist Duf = ∇f·u mit dem Einheitsvektor u = v/|v|. Die Tangentialebene in (a, b) ist z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); sie liefert die lineare Näherung von f in der Nähe dieses Punktes. Kettenregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Wert und Steigungen im Punkt
f(3, 2) = 309
fx = 8xy³ + 6x + 3y → fx(3, 2) = 216
fy = 12x²y² − 9y² + 3x → fy(3, 2) = 405
Tangentialebene
z = 309 + 216(x − 3) + 405(y − 2)
z = 216x + 405y − 1149
Konstanter Term
c = −1149
Antwort
c = −1149
6.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: fmin = −10
Kritische Punkte und Doppelintegrale: Ein kritischer Punkt hat fx = fy = 0. Test mit der zweiten Ableitung mit D = fxxfyy − fxy²: D > 0 und fxx > 0 ist ein lokales Minimum, D > 0 und fxx < 0 ein lokales Maximum, D < 0 ein Sattelpunkt, und D = 0 entscheidet nichts. Für ein Doppelintegral über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die den Bereich begrenzen; für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten, x = r cos θ, y = r sin θ und dA = r dr dθ (vergiss den Faktor r nicht).
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Abkühlungskonstante
k = ln(-20/-13)/10 = 0,04308 min⁻¹
Zeit bis zum Zielwert
t = ln(-20/(−7))/0,04308 = 24,37 min
Antwort
t = 24,37 min
8.Differentialgleichungen
Antwort: y(3) = 1,407
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.