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1Formeln und Methoden
Integrale
Potenzregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven
∫ab (f − g) dx
Methode
Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für ex, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).
Folgen & Reihen
Arithmetische Folge
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius
R = lim |ck/ck+1|
Taylor-Polynom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Methode
Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.
Analysis mehrerer Variablen
Partielle Ableitungen
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtungsableitung
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Tangentialebene
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettenregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Test mit der zweiten Ableitung
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Doppelintegral
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Polarkoordinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
Methode
Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (fx, fy) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
Löse für Extrema fx = 0 und fy = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = fxx·fyy − fxy².
Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.
Differentialgleichungen
Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halbwertszeit
k = ln 2 / t½
Newtonsches Abkühlungsgesetz
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrierender Faktor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mischbehälter
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Übungsaufgaben
1.IntegraleMittel
Das Gebiet unter y = x von x = 0 bis x = 4 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Kegel).
y = x0 ≤ x ≤ 4
V =
2.IntegraleSchwer
Bestimme die Fläche A zwischen der Parabel y = 4 − x² und der x-Achse.
y = 4 − x²
A =
3.Folgen & ReihenMittel
Genau eine der vier Reihen divergiert. Klicke sie an.
A: Σ 3/k³B: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ k/(k + 6)D: Σ k³/3ᵏ
1A: Σ 3/k³
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ k/(k + 6)
4D: Σ k³/3ᵏ
4.Folgen & ReihenSchwer
f(x) = cos x wird bei x = 0,5 durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad n angenähert. Bestimme mit der Lagrangeschen Schranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! und M = 1 den kleinsten Grad n, der einen Fehler unter 0,0001 garantiert.
f(x) = cos xx = 0,5M = 1ε = 0,0001
n =
5.Analysis mehrerer VariablenMittel
Die Tangentialebene an z = −x²y + 4x² − 3y² im Punkt (x, y) = (−1, 3) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.
f(x, y) = −x²y + 4x² − 3y²(a, b) = (−1, 3)
c =
6.Analysis mehrerer VariablenSchwer
Bestimme die kritischen Punkte von f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y, klassifiziere sie und gib den Wert fmin von f an ihrem lokalen Minimum an.
f(x, y) = x³ − 12x + y² − 2y
fmin =
7.DifferentialgleichungenMittel
Eine Tasse Kaffee mit 85 °C steht in einem Raum mit 24 °C. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,11 min⁻¹ die Temperatur T nach 27 min.
T0 = 85 °CTa = 24 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 27 min
T = °C
8.DifferentialgleichungenSchwer
Löse das Anfangswertproblem y′ + y/x = 2x für x > 0 mit y(1) = 4. Bestimme y(3).
y′ + y/x = 2xy(1) = 4
y(3) =
3Lösungen
1.Integrale
Antwort: V = 67,02
Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.
Scheibenmethode
V = π∫₀4 1x² dx
Integrieren
V = π·1·4³/3 = 67,02
Antwort
V = 67,02
Kontrolle: Ein Kegel mit dem Radius 4 und der Höhe 4 hat (1/3)πr²h = 67,02.
2.Integrale
Antwort: A = 10,67
Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.
Nullstellen
4 − x² = 0 → x = ±2
Integrieren
A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67
Antwort
A = 10,67
3.Folgen & Reihen
Antwort: C: Σ k/(k + 6)
Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |ak+1/ak|; Wurzelkriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σck(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |ck/ck+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.
Jede Reihe testen
A: Σ 3/k³ → p-Reihe mit p = 3 > 1: konvergiert.
B: Σ (−1)ᵏ/k → Alternierend, mit gegen 0 fallendem 1/k: konvergiert (bedingt).
C: Σ k/(k + 6) → Die Glieder streben gegen 1, nicht gegen 0: divergiert nach dem Trivialkriterium.
Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.
Schranken für wachsendes n
n = 4: 0,0002604 ≥ 0,0001
n = 5: 2,17 × 10⁻⁵ < 0,0001
Kleinster Grad
n = 5
Antwort
n = 5
5.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: c = 29
Gradient: ∇f = (fx, fy) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, und |∇f| ist die größte Änderungsrate. Die Richtungsableitung in Richtung v ist Duf = ∇f·u mit dem Einheitsvektor u = v/|v|. Die Tangentialebene in (a, b) ist z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); sie liefert die lineare Näherung von f in der Nähe dieses Punktes. Kettenregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Wert und Steigungen im Punkt
f(−1, 3) = −26
fx = −2xy + 8x → fx(−1, 3) = −2
fy = −x² − 6y → fy(−1, 3) = −19
Tangentialebene
z = −26 − 2(x + 1) − 19(y − 3)
z = −2x − 19y + 29
Konstanter Term
c = 29
Antwort
c = 29
6.Analysis mehrerer Variablen
Antwort: fmin = −17
Kritische Punkte und Doppelintegrale: Ein kritischer Punkt hat fx = fy = 0. Test mit der zweiten Ableitung mit D = fxxfyy − fxy²: D > 0 und fxx > 0 ist ein lokales Minimum, D > 0 und fxx < 0 ein lokales Maximum, D < 0 ein Sattelpunkt, und D = 0 entscheidet nichts. Für ein Doppelintegral über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die den Bereich begrenzen; für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten, x = r cos θ, y = r sin θ und dA = r dr dθ (vergiss den Faktor r nicht).
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.
Lösung des Abkühlungsgesetzes
T(t) = 24 + 61·e−0,11t
t einsetzen
T(27) = 24 + 61·0,0513 = 27,13 °C
Antwort
T = 27,13 °C
8.Differentialgleichungen
Antwort: y(3) = 7,111
Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·ekt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.