Analysis 2: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 8 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Integrale

Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bestimmtes Integral: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Wichtige Integrale: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Fläche zwischen Kurven: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schreibe den Integranden, wenn möglich, als Summe einfacher Terme.
Wende die Potenzregel an: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), und die Grundintegrale für e^x, 1/x, sin und cos.
Verwende Substitution, wenn du eine Funktion zusammen mit ihrer Ableitung siehst.
Für ein bestimmtes Integral berechnest du F(b) − F(a).

Folgen & Reihen

Arithmetische Folge: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrische Folge: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Unendliche geometrische Reihe: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-Reihe: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Konvergenzradius: R = lim |c_k/c_k+1|
Taylor-Polynom: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin-Reihe: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrangesche Fehlerschranke: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

Erkenne den Typ: arithmetisch (konstante Differenz), geometrisch (konstanter Quotient), eine Standardreihe, eine Potenzreihe oder ein Taylor-Polynom.
Verwende für Summen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) oder S = a₁/(1 − r) für |r| < 1, wobei a₁ das erste Glied der Summe ist.
Zur Konvergenz: erst das Trivialkriterium, dann der Vergleich mit Σ1/kᵖ oder einer geometrischen Reihe, und bei Fakultäten und k-ten Potenzen das Quotienten- oder Wurzelkriterium.
Liste für Taylor-Polynome f(a), f′(a), f″(a), … auf, teile die k-te Ableitung durch k! und schätze den Fehler mit M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ab.

Analysis mehrerer Variablen

Partielle Ableitungen: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
Gradient: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
Richtungsableitung: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
Tangentialebene: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
Kettenregel: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
Test mit der zweiten Ableitung: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
Doppelintegral: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
Polarkoordinaten: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Methode

Behandle bei einer partiellen Ableitung die andere Variable als Konstante und verwende die Regeln für eine Variable.
Berechne bei Gradientenaufgaben ∇f = (f_x, f_y) im Punkt; verwende |∇f| für die steilste Steigung und ∇f·u mit einem Einheitsvektor u für eine Richtungsableitung.
Löse für Extrema f_x = 0 und f_y = 0 gemeinsam und klassifiziere dann jeden Punkt mit D = f_xx·f_yy − f_xy².
Skizziere bei einem Doppelintegral den Bereich, wähle die Reihenfolge (oder Polarkoordinaten für Kreisscheiben) so, dass die inneren Grenzen die begrenzenden Kurven sind, und integriere von innen nach außen.

Differentialgleichungen

Exponentielles Wachstum/exponentieller Zerfall: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Halbwertszeit: k = ln 2 / t_½
Newtonsches Abkühlungsgesetz: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Integrierender Faktor: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Mischbehälter: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Übungsaufgaben

1.IntegraleMittel

Das Gebiet unter y = x von x = 0 bis x = 4 wird um die x-Achse gedreht. Bestimme das Volumen V des entstehenden Körpers (ein Kegel).

y = x0 ≤ x ≤ 4

V =

2.IntegraleSchwer

Bestimme die Fläche A des Gebiets, das von y = 2x² und y = 4x eingeschlossen wird.

y = 2x²y = 4x

A =

3.Folgen & ReihenMittel

Die Potenzreihe Σ_k=1^∞ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏ konvergiert auf einem Intervall um x₀ = 1. Bestimme das linke Ende x dieses Intervalls.

Σ k²·3ᵏ·(x − 1)ᵏx₀ = 1

x =

4.Folgen & ReihenSchwer

f(x) = cos x wird bei x = 2 durch ihr Maclaurin-Polynom vom Grad n angenähert. Bestimme mit der Lagrangeschen Schranke M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! und M = 1 den kleinsten Grad n, der einen Fehler unter 1 × 10⁻⁵ garantiert.

f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.Analysis mehrerer VariablenMittel

Die Tangentialebene an z = −3x³y³ − 3x² − 3y² + xy im Punkt (x, y) = (2, 1) lässt sich als z = px + qy + c schreiben. Bestimme c.

f(x, y) = −3x³y³ − 3x² − 3y² + xy(a, b) = (2, 1)

c =

6.Analysis mehrerer VariablenSchwer

Das Integral I = ∫₀^1,5 ∫_y^1,5 1/(1 + x²)² dx dy lässt sich in dieser Reihenfolge nicht berechnen. Vertausche die Integrationsreihenfolge und berechne es.

f = 1/(1 + x²)²0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5

I =

7.DifferentialgleichungenMittel

Eine Getränkedose mit 3 °C wird aus dem Kühlschrank in einen Raum mit 22 °C gebracht. Sie folgt dem Newtonschen Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bestimme mit k = 0,07 min⁻¹ die Temperatur T nach 19 min.

T₀ = 3 °CT_a = 22 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 19 min

T = °C

8.DifferentialgleichungenSchwer

Löse das Anfangswertproblem y′ + y/x = 3x für x > 0 mit y(1) = 4. Bestimme y(3).

y′ + y/x = 3xy(1) = 4

y(3) =

3Lösungen

1.Integrale

Antwort: V = 67,02

Rotationsvolumen: Dreht man das Gebiet unter y = f(x) von x = a bis x = b um die x-Achse, entsteht ein Körper, dessen Querschnitt bei x eine Kreisscheibe mit Radius f(x) ist. Die Summe der Scheiben ergibt V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Liegt das Gebiet zwischen einer äußeren Kurve R(x) und einer inneren Kurve r(x), ist jede Scheibe ein Ring: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Quadriere die Radien, bevor du sie subtrahierst.

Scheibenmethode

V = π∫₀⁴ 1x² dx

Integrieren

V = π·1·4³/3 = 67,02

Antwort

V = 67,02

Kontrolle: Ein Kegel mit dem Radius 4 und der Höhe 4 hat (1/3)πr²h = 67,02.

2.Integrale

Antwort: A = 2,667

Bestimmte Integrale: ∫ₐᵇ f(x) dx ist die orientierte Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse von a bis b. Finde eine Stammfunktion F (mit F′ = f) und berechne F(b) − F(a). Potenzregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Die Fläche zwischen zwei Kurven ist ∫(obere − untere) dx.

Schnittpunkte

2x² = 4x → x = 0, x = 2

Obere minus untere integrieren

A = [2x² − 0,6667x³]₀² = 2,667

Antwort

A = 2,667

3.Folgen & Reihen

Antwort: x = 0,6667

Konvergenz: Streben die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe (Trivialkriterium). Σ1/kᵖ konvergiert nur für p > 1 und Σrᵏ nur für |r| < 1. Vergleiche eine Reihe mit einer dieser Reihen, wenn sich ihre Glieder für große k wie diese verhalten. Quotientenkriterium: L = lim |a_k+1/a_k|; Wurzelkriterium: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 konvergiert, L > 1 divergiert, L = 1 entscheidet nichts. Eine Potenzreihe Σc_k(x − x₀)ᵏ konvergiert für |x − x₀| < R mit R = lim |c_k/c_k+1|; eine alternierende Reihe mit gegen 0 fallenden Gliedern konvergiert.

Koeffizienten

c_k/c_k+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3

Radius

R = 0,3333

Intervall

0,6667 < x < 1,333

x = 0,6667

Antwort

x = 0,6667

Das Quotientenkriterium sagt an den beiden Randpunkten nichts aus; sie müssen getrennt geprüft werden.

4.Folgen & Reihen

Antwort: n = 11

Taylor-Polynome: Nahe x = a wird eine glatte Funktion durch Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! angenähert; für a = 0 ist das das Maclaurin-Polynom. Standardreihen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrangesche Fehlerschranke: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, wobei M der größte Wert von |f⁽ⁿ⁺¹⁾| zwischen a und x ist.

Schranken für wachsendes n

n = 10: 5,131 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 11: 8,551 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Kleinster Grad

n = 11

Antwort

n = 11

5.Analysis mehrerer Variablen

Antwort: c = 133

Gradient: ∇f = (f_x, f_y) zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs, und |∇f| ist die größte Änderungsrate. Die Richtungsableitung in Richtung v ist D_uf = ∇f·u mit dem Einheitsvektor u = v/|v|. Die Tangentialebene in (a, b) ist z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b); sie liefert die lineare Näherung von f in der Nähe dieses Punktes. Kettenregel: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

Wert und Steigungen im Punkt

f(2, 1) = −37

f_x = −9x²y³ − 6x + y → f_x(2, 1) = −47

f_y = −9x³y² − 6y + x → f_y(2, 1) = −76

Tangentialebene

z = −37 − 47(x − 2) − 76(y − 1)

z = −47x − 76y + 133

Konstanter Term

c = 133

Antwort

c = 133

6.Analysis mehrerer Variablen

Antwort: I = 0,3462

Kritische Punkte und Doppelintegrale: Ein kritischer Punkt hat f_x = f_y = 0. Test mit der zweiten Ableitung mit D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 und f_xx > 0 ist ein lokales Minimum, D > 0 und f_xx < 0 ein lokales Maximum, D < 0 ein Sattelpunkt, und D = 0 entscheidet nichts. Für ein Doppelintegral über einen allgemeinen Bereich sind die inneren Grenzen die Kurven, die den Bereich begrenzen; für Kreisscheiben und Sektoren verwende Polarkoordinaten, x = r cos θ, y = r sin θ und dA = r dr dθ (vergiss den Faktor r nicht).

Bereich

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1,5

Vertauschte Reihenfolge

I = ∫₀^1,5 ∫₀^x 1/(1 + x²)² dy dx = ∫₀^1,5 x·1/(1 + x²)² dx

Substitution u = x²

I = [−1/(2(1 + x²))]₀^1,5 = 0,3462

Antwort

I = 0,3462

7.Differentialgleichungen

Antwort: T = 16,97 °C

Differentialgleichungen erster Ordnung: dy/dt = k·y hat die Lösung y = y₀·e^kt (Wachstum für k > 0, Zerfall für k < 0); eine Halbwertszeit T ergibt k = ln 2/T. Das Newtonsche Abkühlungsgesetz dT/dt = −k·(T − Tₐ) ergibt T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. Eine lineare Gleichung y′ + p(x)·y = q(x) löst man mit dem integrierenden Faktor μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq, also μy = ∫μq dx + C.

Lösung des Abkühlungsgesetzes

T(t) = 22 + (−19)·e^−0,07t

t einsetzen

T(19) = 22 + (−19)·0,2645 = 16,97 °C

Antwort

T = 16,97 °C

8.Differentialgleichungen

Antwort: y(3) = 10

Integrierender Faktor

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

Integrieren

(x¹y)′ = 3x² → x¹y = 3x³/3 + C

Anfangsbedingung

4 = 3/3 + C → C = 3

Auswerten

y(3) = (3·3³/3 + 3)/3¹ = 10

Antwort

y(3) = 10

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