Grundlagen der Elektrotechnik 1: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 14 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Widerstände in Reihe: R_eq = R₁ + R₂ + …
Widerstände parallel: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zwei parallel: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Ohmsches Gesetz: V = I·R
Leistung: P = V·I = I²R = V²/R

Methode

Beginne an dem Ende des Netzwerks, das am weitesten von den Klemmen entfernt ist.
Fasse Widerstände in Reihe durch Addieren zusammen und parallele Widerstände mit 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Zeichne die Schaltung nach jedem Schritt neu.
Wiederhole das, bis zwischen den Klemmen ein einziger Widerstand übrig ist.

Knotenpotenzialverfahren

Kirchhoffsche Knotenregel: ΣI_in = ΣI_out
Zweigstrom: I = (V_a − V_b)/R
Bezugsknoten: V_ground = 0

Methode

Wähle einen Bezugsknoten (Masse) und benenne die übrigen Knotenspannungen.
Stelle an jedem unbekannten Knoten die Knotenregel auf: Die über alle Zweige abfließenden Ströme sind gleich den zufließenden.
Drücke jeden Zweigstrom als (V_a − V_b)/R aus.
Löse das Gleichungssystem und bestimme dann jeden benötigten Strom.

Maschenstromverfahren

Kirchhoffsche Maschenregel: ΣV = 0 in jeder Masche
Gemeinsamer Widerstand: Strom = I₁ − I₂
Stromquelle in einer Masche: legt diesen Maschenstrom fest

Methode

Zeichne in jeder Masche (jedem Fenster) der Schaltung einen Strom im Uhrzeigersinn ein.
Wende in jeder Masche die Maschenregel an: Die Summe der Spannungsabfälle ist null.
In einem Widerstand, den zwei Maschen gemeinsam haben, fließt die Differenz der beiden Maschenströme.
Löse die Gleichungen; ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der Strom in die andere Richtung fließt.

Überlagerungssatz

Überlagerungssatz: x = x₁ + x₂ + … (one source at a time)
Abgeschaltete Spannungsquelle: Kurzschluss (0 V)
Abgeschaltete Stromquelle: Leerlauf (0 A)
Spannungsteiler: V₂ = V·R₂/(R₁ + R₂)
Stromteiler: I₁ = I·R₂/(R₁ + R₂)

Methode

Zähle die unabhängigen Quellen. Für jede Quelle löst du eine einfachere Schaltung.
Behalte eine Quelle und schalte die anderen ab: Eine Spannungsquelle wird zum Kurzschluss (ein Draht), eine Stromquelle zum Leerlauf (eine Unterbrechung).
Berechne in der einfacheren Schaltung die gesuchte Spannung oder den gesuchten Strom und achte auf die Richtung.
Wiederhole das für jede Quelle und addiere dann die Beiträge mit ihren Vorzeichen.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

Operationsverstärker

Invertierender Verstärker: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
Nichtinvertierender Verstärker: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
Summierverstärker: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
Idealer Operationsverstärker: V₊ = V₋, I_in = 0

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

2Übungsaufgaben

1.Reihen- und ParallelschaltungMittel

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 5 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

2.Reihen- und ParallelschaltungSchwer

Bestimme den Strom I_R2 durch R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 30 Ω

I_R2 = A

3.KnotenpotenzialverfahrenMittel

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren den Strom I_R1 durch R₁ in Pfeilrichtung.

V₁ = 18 VI_s = 5 AR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.KnotenpotenzialverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Knotenpotenzialverfahren den Strom I_R2 durch R₂ in Pfeilrichtung.

V₁ = 18 VI_s = 3 AV₂ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 ΩR₅ = 25 Ω

I_R2 = A

5.MaschenstromverfahrenMittel

Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Maschenstrom I₂ (im Uhrzeigersinn).

V₁ = 6 VV₂ = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 2 Ω

I₂ = A

6.MaschenstromverfahrenSchwer

Bestimme mit dem Maschenstromverfahren den Strom I_R1 durch R₁ in Pfeilrichtung.

V₁ = 30 VV₂ = 36 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 Ω

I_R1 = A

7.ÜberlagerungssatzMittel

Bestimme mit dem Überlagerungssatz den Strom I_R3 durch R₃ in Pfeilrichtung.

V₁ = 15 VI_s = 4 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 15 Ω

I_R3 = A

8.ÜberlagerungssatzSchwer

Bestimme mit dem Überlagerungssatz die von R₂ aufgenommene Leistung P_R2.

V₁ = 15 VI_s = 2,5 AV₂ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 5 Ω

P_R2 = W

9.Thévenin und NortonMittel

Bestimme den Thévenin-Widerstand R_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 9 VR₁ = 5 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 Ω

R_th = Ω

10.Thévenin und NortonSchwer

Bestimme die Thévenin-Spannung V_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 9 VI_s = 3 AR₁ = 25 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 6 Ω

V_th = V

11.OperationsverstärkerMittel

Der Operationsverstärker ist ideal und wird mit ±15 V versorgt. Bestimme die Ausgangsspannung V_out.

V_in = 1,5 VR₁ = 4,7 kΩR_f = 10 kΩ

V_out = V

12.OperationsverstärkerSchwer

Zwei ideale Operationsverstärkerstufen sind in Kette geschaltet: ein invertierender Verstärker (R₁, R_f1), gefolgt von einem nicht invertierenden Verstärker (R₂ nach Masse, R_f2 in der Rückkopplung). Beide werden mit ±15 V versorgt. Bestimme die Gesamtspannungsverstärkung A_v = V_out/V_in.

R₁ = 1 kΩR_f1 = 4,7 kΩR₂ = 47 kΩR_f2 = 22 kΩ

A_v =

13.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Wie lange nach dem Schließen des Schalters erreicht der Strom 80 % seines Endwerts? Bestimme t.

V_s = 5 VR = 20 ΩL = 220 mH

t = ms

14.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 2 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 4,4 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 10 VR = 3,3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 2 V

t = ms

3Lösungen

1.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 1,309 A

Reihen- und Parallelschaltung: In Reihe fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom, und R = R₁ + R₂ + …. Parallel liegt an jedem Widerstand dieselbe Spannung, und 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Eine Kettenschaltung wird Paar für Paar vereinfacht, bis ein einziger Ersatzwiderstand übrig bleibt.

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Beginne am Ende, das am weitesten von der Quelle entfernt ist, und arbeite dich zu ihr zurück. Widerstände mit demselben Strom liegen in Reihe; Widerstände zwischen denselben zwei Knoten liegen parallel.

R₃ + R₄ = 10 + 5 = 15 Ω

R₂ ∥ 15 = 10·15/(10+15) = 6 Ω

R_eq = R₁ + 6 = 5 + 6 = 11 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/11 = 2,182 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 2,182·5 = 13,09 V

I_R2 = V_A/R₂ = 13,09/10 = 1,309 A

Antwort

I_R2 = 1,309 A

2.Reihen- und Parallelschaltung

Antwort: I_R2 = 2,355 A

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

R₅ + R₆ = 20 + 30 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 16,67 Ω

R₃ + 16,67 = 21,67 Ω

R₂ ∥ 21,67 = 1,831 Ω

R_eq = R₁ + 1,831 = 4 + 1,831 = 5,831 Ω

Strom aus der Quelle

Die Quelle sieht nur R_eq, also liefert das ohmsche Gesetz den Strom, den sie abgibt. Dieser Strom fließt durch R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/5,831 = 2,572 A

Strom durch R₂

Ziehe den Spannungsabfall an R₁ ab, um die Spannung an Knoten A zu erhalten, die an R₂ anliegt.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 2,572·4 = 4,71 V

I_R2 = V_A/R₂ = 4,71/2 = 2,355 A

Antwort

I_R2 = 2,355 A

3.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: I_R1 = −1,064 A

Knotenpotenzialverfahren: Wähle einen Bezugsknoten, benenne die unbekannten Knotenpotenziale, stelle an jedem unbekannten Knoten die Kirchhoffsche Knotenregel mit dem ohmschen Gesetz (I = ΔV/R) auf und löse das entstehende Gleichungssystem.

Knoten festlegen

Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V₁ = 18 V). Unbekannt: V_A, V_B.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₂ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₃ = 0

V_A/15 + (V_A − 18)/10 + (V_A − V_B)/4 = 0

0,4167·V_A − 0,25·V_B = 1,8

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₄ + (V_B − V_A)/R₃ = I_s

V_B/20 + (V_B − V_A)/4 = 5

−0,25·V_A + 0,3·V_B = 5

Lösen

Δ = (0,4167)(0,3) − (−0,25)(−0,25) = 0,0625

V_A = Δ₁/Δ = 1,79/0,0625 = 28,64 V

V_B = Δ₂/Δ = 2,533/0,0625 = 40,53 V

Antwort

I_R1 = (V₁ − V_A)/R₁ = (18 − 28,64)/10 = −1,064 A

4.Knotenpotenzialverfahren

Antwort: I_R2 = −1,088 A

Knoten festlegen

Masse ist der untere Leiter. Bekannte Knotenpotenziale ergeben sich direkt aus den Quellen (V₁ = 18 V, V₂ = 10 V). Unbekannt: V_A, V_B.

KCL am Knoten A

Die Ströme, die A über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in A einspeisen.

V_A/R₃ + (V_A − V₁)/R₁ + (V_A − V_B)/R₂ = 0

V_A/20 + (V_A − 18)/4 + (V_A − V_B)/2 = 0

0,8·V_A − 0,5·V_B = 4,5

KCL am Knoten B

Die Ströme, die B über die Widerstände verlassen, sind gleich dem Strom, den die Quellen in B einspeisen.

V_B/R₅ + (V_B − V_A)/R₂ + (V_B − V₂)/R₄ = I_s

V_B/25 + (V_B − V_A)/2 + (V_B − 10)/10 = 3

−0,5·V_A + 0,64·V_B = 4

Lösen

Δ = (0,8)(0,64) − (−0,5)(−0,5) = 0,262

V_A = Δ₁/Δ = 4,88/0,262 = 18,63 V

V_B = Δ₂/Δ = 5,45/0,262 = 20,8 V

Antwort

I_R2 = (V_A − V_B)/R₂ = (18,63 − 20,8)/2 = −1,088 A

5.Maschenstromverfahren

Antwort: I₂ = −0,48 A

Maschenstromverfahren: Gib jedem Fenster einer ebenen Schaltung einen eigenen Umlaufstrom, stelle für jeden Umlauf die Kirchhoffsche Maschenregel auf (Summe der Abfälle = Summe der Quellenspannungen) und löse. Zweigströme sind der Maschenstrom oder die Differenz zweier Maschenströme in einem gemeinsamen Zweig.

Maschenströme festlegen

Zeichne in jedes Fenster einen Strom im Uhrzeigersinn: I₁, I₂. Ein Widerstand, den zwei Maschen teilen, führt die Differenz ihrer Ströme.

Maschenregel in Masche 1

Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).

R₁·I₁ + R₃(I₁ − I₂) = V₁

10·I₁ + 2(I₁ − I₂) = 6

12·I₁ − 2·I₂ = 6

Maschenregel in Masche 2

Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).

R₂·I₂ + R₃(I₂ − I₁) = −V₂

15·I₂ + 2(I₂ − I₁) = (−9)

−2·I₁ + 17·I₂ = −9

Lösen

Δ = (12)(17) − (−2)(−2) = 200

I₁ = Δ₁/Δ = 84/200 = 0,42 A

I₂ = Δ₂/Δ = −96/200 = −0,48 A

Antwort

I₂ = −0,48 A

Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.

6.Maschenstromverfahren

Antwort: I_R1 = 1,078 A

Maschenströme festlegen

Zeichne in jedes Fenster einen Strom im Uhrzeigersinn: I₁, I₂, I₃. Ein Widerstand, den zwei Maschen teilen, führt die Differenz ihrer Ströme.

Maschenregel in Masche 1

Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).

R₁·I₁ + R₄(I₁ − I₂) = V₁

2·I₁ + 25(I₁ − I₂) = 30

27·I₁ − 25·I₂ = 30

Maschenregel in Masche 2

Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).

R₂·I₂ + R₄(I₂ − I₁) + R₅(I₂ − I₃) = 0

10·I₂ + 25(I₂ − I₁) + 30(I₂ − I₃) = 0

−25·I₁ + 65·I₂ − 30·I₃ = 0

Maschenregel in Masche 3

Im Uhrzeigersinn umlaufend sind die Spannungsabfälle an den Widerständen gleich den Quellenspannungen (von − nach + in Umlaufrichtung).

R₃·I₃ + R₅(I₃ − I₂) = −V₂

8·I₃ + 30(I₃ − I₂) = (−36)

−30·I₂ + 38·I₃ = −36

Lösen

Δ = Determinante der Koeffizientenmatrix = 18640

I₁ = Δ₁/Δ = 20100/18640 = 1,078 A

I₂ = Δ₂/Δ = −660/18640 = −0,03541 A

I₃ = Δ₃/Δ = −18180/18640 = −0,9753 A

Antwort

I_R1 = I₁ = 1,078 A

Ein negativer Maschenstrom fließt gegen den Uhrzeigersinn.

7.Überlagerungssatz

Antwort: I_R3 = 1,719 A

Überlagerungssatz: In einer linearen Schaltung ist jede Spannung und jeder Strom die Summe der Wirkungen jeder unabhängigen Quelle für sich allein. Um eine Quelle abzuschalten, ersetzt man eine ideale Spannungsquelle durch einen Kurzschluss und eine ideale Stromquelle durch einen Leerlauf. Die Widerstände bleiben, wo sie sind.

Fall 1 · V₁ allein aktiv

Iₛ wird zum Leerlauf, daher bilden R₃ und R₄ einen Reihenzweig von A nach Masse, parallel zu R₂.

R₃+R₄ = 15+15 = 30 Ω

R₂ ∥ (R₃+R₄) = 3·30/(3+30) = 2,727 Ω

V_A = 15·2,727/(6+2,727) = 4,688 V

V_B = V_A·R₄/(R₃+R₄) = 4,688·15/30 = 2,344 V

I_R3′ = (V_B − V_A)/R₃ = (2,344 − 4,688)/15 = −0,1563 A

Fall 2 · I_s allein aktiv

V₁ wird zum Kurzschluss, daher liegt R₁ parallel zu R₂. Iₛ teilt sich in B zwischen R₄ und dem Pfad über R₃ auf.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_eq = R₄ ∥ (R₃+R₁∥R₂) = 15 ∥ 17 = 7,969 Ω

V_B = I_s·R_eq = 4·7,969 = 31,88 V

V_A = V_B·(R₁∥R₂)/(R₃+R₁∥R₂) = 31,88·2/17 = 3,75 V

I_R3″ = (V_B − V_A)/R₃ = (31,88 − 3,75)/15 = 1,875 A

Anteile addieren

I_R3 = I_R3′ + I_R3″

I_R3 = (−0,1563) + 1,875 = 1,719 A

Ein negatives Ergebnis bedeutet, dass der tatsächliche Strom gegen den Pfeil fließt.

8.Überlagerungssatz

Antwort: P_R2 = 3,04 W

Fall 1 · V₁ allein aktiv

V₂ wird zum Kurzschluss und Iₛ zum Leerlauf. Von A aus gesehen liegt R₃ parallel zur Reihenschaltung R₂+R₄.

R₃ ∥ (R₂+R₄) = 25 ∥ 7 = 5,469 Ω

V_A = 15·5,469/(6+5,469) = 7,153 V

V_B = V_A·R₄/(R₂+R₄) = 7,153·5/7 = 5,109 V

I_R2′ = (V_A − V_B)/R₂ = (7,153 − 5,109)/2 = 1,022 A

Fall 2 · I_s allein aktiv

Beide Spannungsquellen werden zu Kurzschlüssen. Iₛ teilt sich in B zwischen R₄ (jetzt nach Masse) und R₂ in Reihe mit R₁ ∥ R₃ auf.

R₁ ∥ R₃ = 4,839 Ω, also ist der linke Pfad R₂+4,839 = 6,839 Ω

R_eq = R₄ ∥ 6,839 = 2,888 Ω

V_B = I_s·R_eq = 2,5·2,888 = 7,221 V

V_A = V_B·4,839/6,839 = 5,109 V

I_R2″ = (V_A − V_B)/R₂ = (5,109 − 7,221)/2 = −1,056 A

Fall 3 · V₂ allein aktiv

V₁ wird zum Kurzschluss und Iₛ zum Leerlauf. R₁ ∥ R₃ hängt an A, in Reihe mit R₂ zurück nach B.

R₁ ∥ R₃ = 6·25/(6+25) = 4,839 Ω

V_B = V₂·(R₂+R₁∥R₃)/(R₄+R₂+R₁∥R₃) = (−15)·6,839/11,84 = −8,665 V

V_A = V_B·(R₁∥R₃)/(R₂+R₁∥R₃) = −8,665·4,839/6,839 = −6,131 V

I_R2‴ = (V_A − V_B)/R₂ = (−6,131 − −8,665)/2 = 1,267 A

Stromanteile addieren

I_R2 = I_R2′ + I_R2″ + I_R2‴ = 1,022 + (−1,056) + 1,267 = 1,233 A

Leistung im Widerstand

Die Leistung hängt vom Quadrat des Stroms ab und folgt daher nicht dem Überlagerungssatz: zuerst die Ströme addieren, dann quadrieren.

P_R2 = I_R2²·R₂ = 1,233²·2 = 3,04 W

Antwort

P_R2 = 3,04 W

Addiert man die Leistungen der Einzelfälle, erhält man 7,529 W, und das ist falsch.

9.Thévenin und Norton

Antwort: R_th = 6,5 Ω

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 5·5/(5+5) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 4 = 6,5 Ω

10.Thévenin und Norton

Antwort: V_th = 29,59 V

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 25·4/(25+4) = 3,448 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,448 + 6 = 9,448 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,241 + 3·3,448 = 11,59 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 11,59 + 3·6 = 29,59 V

11.Operationsverstärker

Antwort: V_out = 4,691 V

Regeln für den idealen Operationsverstärker: Mit Gegenkopplung stellt der OPV seinen Ausgang so ein, dass beide Eingänge auf derselben Spannung liegen (V₋ = V₊), und in keinen Eingang fließt Strom. Die Knotenregel am invertierenden Eingang mit diesen beiden Tatsachen liefert den Ausgang.

Der invertierende Eingang folgt dem Eingang

V₋ = V₊ = 1,5 V

I = V₋/R₁ = 1,5/4,7 = 0,3191 mA

Ausgangsspannung

Der Strom durch R₁ fließt auch durch R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = 1,5 + 0,3191·10 = 4,691 V

Antwort

V_out = 4,691 V

12.Operationsverstärker

Antwort: A_v = −6,9

Verstärkung jeder Stufe

A₁ = −R_f1/R₁ = −4,7/1 = −4,7

A₂ = 1 + R_f2/R₂ = 1 + 22/47 = 1,468

Gesamtverstärkung

A_v = A₁·A₂ = −4,7·1,468 = −6,9

Antwort

A_v = −6,9

13.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 17,7 ms

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 220 mH / 20 Ω = 11 ms

i(∞) = V_s/R = 5/20 = 0,25 A

Nach der Zeit auflösen

0,8 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)

t = −11·ln(0,2) = 17,7 ms

Antwort

t = 17,7 ms

14.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 258,9 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 10 + (2 − 10)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

4,4 = 10 + (−8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (4,4 − 10)/(2 − 10) = 0,7

t = τ·ln((2 − 10)/(4,4 − 10)) = 726·ln(1,429) = 258,9 ms

Antwort

t = 258,9 ms

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Grundlagen der Elektrotechnik 1: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Reihen- und Parallelschaltung

Methode

Knotenpotenzialverfahren

Methode

Maschenstromverfahren

Methode

Überlagerungssatz

Methode

Thévenin und Norton

Methode

Operationsverstärker

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Methode

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Strom durch R₂

Antwort

Widerstände vom fernen Ende her zusammenfassen

Strom aus der Quelle

Strom durch R₂

Antwort

Knoten festlegen

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Antwort

Knoten festlegen

KCL am Knoten A

KCL am Knoten B

Lösen

Antwort

Maschenströme festlegen

Maschenregel in Masche 1

Maschenregel in Masche 2

Lösen

Antwort

Maschenströme festlegen

Maschenregel in Masche 1

Maschenregel in Masche 2

Maschenregel in Masche 3

Lösen

Antwort

Fall 1 · V1 allein aktiv

Fall 2 · Is allein aktiv

Anteile addieren

Fall 1 · V1 allein aktiv

Fall 2 · Is allein aktiv

Fall 3 · V2 allein aktiv

Stromanteile addieren

Leistung im Widerstand

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Der invertierende Eingang folgt dem Eingang

Ausgangsspannung

Antwort

Verstärkung jeder Stufe

Gesamtverstärkung

Antwort

Zeitkonstante und Endstrom

Nach der Zeit auflösen

Antwort

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Nach der Zeit auflösen

Antwort

Fall 1 · V₁ allein aktiv

Fall 2 · I_s allein aktiv

Fall 1 · V₁ allein aktiv

Fall 2 · I_s allein aktiv

Fall 3 · V₂ allein aktiv

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung