Grundlagen der Elektrotechnik 2: Wechselstromkreise: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 16 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Komplexe Zahlen

Kartesische Form: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Betrag und Argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Polar- und Exponentialform: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Division: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Produkt und Quotient: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-te Wurzeln: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Quadratische Gleichung mit p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Entscheide, welche Form zur Operation passt: kartesisch a + jb zum Addieren und Subtrahieren, polar r∠θ zum Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Wurzelziehen.
Multipliziere mit j² = −1 aus; dividiere, indem du Zähler und Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners multiplizierst.
Wandle mit r = √(a² + b²) um und bestimme θ anhand einer Skizze des Punktes (Quadrant prüfen), und zurück mit a = r cos θ, b = r sin θ.
Verwende für Potenzen De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; liste für zⁿ = R∠φ alle n Wurzeln R^1/n∠((φ + 360°k)/n) auf.

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Impedanzen: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Kreisfrequenz: ω = 2πf
Betrag und Winkel: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Ohmsches Gesetz mit Zeigern: V = I·Z

Methode

Rechne die Frequenz um: ω = 2πf.
Bestimme jeden Blindwiderstand: X_L = ωL und X_C = 1/(ωC).
Addiere Impedanzen wie Widerstände, mit Z = R + jX.
Bestimme den Betrag |Z| = √(R² + X²) und den Winkel φ = atan(X/R) und wende dann das ohmsche Gesetz mit Zeigern an.

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Wirkleistung: P = V·I·cos φ
Blindleistung: Q = V·I·sin φ
Scheinleistung: S = V·I = √(P² + Q²)
Leistungsfaktor: pf = cos φ = P/S
Kompensationskondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite

Eigenfrequenz: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Spitzenstrom: I_max = V₀√(C/L)
Güte: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Reihen-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreite: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halbleistungsfrequenzen: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Schwingkreis mit Spulenwiderstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Abklingen der Amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Bestimme zuerst die Resonanzfrequenz: ω₀ = 1/√(LC) und f₀ = ω₀/(2π).
Entscheide, ob die Schaltung ein Reihen- oder ein Parallelkreis ist: Reihe Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Verwende BW = f₀/Q für die Bandbreite oder die Abkürzungen R/(2πL) (Reihe) und 1/(2πRC) (parallel).
Nutze bei Energieaufgaben, dass die Gesamtenergie ½CV₀² im idealen LC-Kreis konstant bleibt und alle Viertelperiode zwischen C und L wechselt.

Drehstromleistung

Sternschaltung (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Dreieckschaltung (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Gesamte Wirkleistung: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schein- und Blindleistung: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Kompensationskondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spannung an jedem Kondensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Aufgenommene Motorleistung: P_in = P_out/η

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Zeitkonstante: τ = RC | τ = L/R
Antwort: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Kondensator bei Gleichstrom: Leerlauf; v_C kann nicht springen
Spule bei Gleichstrom: Kurzschluss; i_L kann nicht springen
Eingeschwungen: t ≈ 5τ

Methode

Bestimme den Anfangswert unmittelbar nach dem Schalten: Kondensatorspannung und Spulenstrom können nicht springen.
Bestimme den Endwert lange nach dem Schalten: Ein Kondensator wirkt wie ein Leerlauf, eine Spule wie ein Kurzschluss.
Bestimme die Zeitkonstante: τ = RC oder τ = L/R, mit dem Widerstand, den der Kondensator bzw. die Spule sieht.
Verwende x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin und Norton

Thévenin-Spannung: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-Widerstand: R_th: alle Quellen abgeschaltet, von a–b aus gesehen
Norton-Strom: I_N = V_th/R_th
Laststrom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale Leistungsübertragung: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Entferne die Last und markiere die beiden Klemmen a und b.
Bestimme die Leerlaufspannung zwischen a und b: Das ist V_th.
Schalte alle unabhängigen Quellen ab und bestimme den Widerstand, den man von a–b aus sieht: Das ist R_th.
Schließe die Last wieder an die Ersatzschaltung an: V_th in Reihe mit R_th.
Für die Norton-Ersatzschaltung umrechnen: I_N = V_th/R_th, mit R_N = R_th parallel.

2Übungsaufgaben

1.Komplexe ZahlenMittel

Gegeben sind z₁ = 3∠70° und z₂ = 1,5∠110°. Bestimme den Realteil von w = z₁·z₂.

z₁ = 3∠70°z₂ = 1,5∠110°

Re(w) =

2.Komplexe ZahlenSchwer

Eine Lösung von z³ + 9z² + 28z + 30 = 0 ist z₁ = −3 + j. Die Koeffizienten sind reell. Bestimme die reelle Lösung r.

z₁ = −3 + j

r =

3.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerMittel

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 24 V (Effektivwert) und 100 Hz. Bestimme den Phasenwinkel φ der Impedanz in Grad (positiv, wenn der Strom der Spannung nacheilt).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF

φ = °

4.Wechselstrom: Impedanz und ZeigerSchwer

Eine RLC-Reihenschaltung liegt an einer Versorgung mit 50 V (Effektivwert) und 50 Hz. Bestimme den Effektivwert der Spannung V_C am Kondensator.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 250 mHC = 10 µF

V_C = V

5.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorMittel

Eine Last mit der Impedanz Z = 9 + j12 Ω liegt an einer einphasigen Versorgung mit 230 V (Effektivwert). Bestimme die Scheinleistung S.

V = 230 VZ = 9 + j12 Ω

S = VA

6.Wechselstromleistung und LeistungsfaktorSchwer

Eine Quelle mit 230 V (Effektivwert) und 1000 Hz hat eine Innenimpedanz Z_s = 4 + j30 Ω. Die Lastimpedanz Z_L kann frei gewählt werden. Bestimme die maximale Wirkleistung P_max, die an die Last abgegeben werden kann.

V_s = 230 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 4 + j30 Ω

P_max = W

7.LC-Resonanz, Gütefaktor und BandbreiteMittel

Ein Reihen-RLC-Kreis hat R = 5 Ω, L = 100 µH und C = 100 nF. Bestimme seine Bandbreite BW in kHz.

R = 5 ΩL = 100 µHC = 100 nF

BW = kHz

8.LC-Resonanz, Gütefaktor und BandbreiteSchwer

Ein Reihenschwingkreis verwendet eine Spule mit 22 µH. Welcher gesamte Reihenwiderstand R ergibt eine Bandbreite von 1 kHz?

L = 22 µHBW = 1 kHz

R = Ω

9.DrehstromleistungMittel

Eine symmetrische Last in Dreieckschaltung mit einer Impedanz von 4 + j3 Ω pro Strang ist an ein symmetrisches Drehstromnetz mit einer Leiterspannung von 480 V angeschlossen. Bestimme die gesamte Wirkleistung P, die die Last aufnimmt, in kW.

V_L = 480 VZ = 4 + j3 Ω pro Strang

P = kW

10.DrehstromleistungSchwer

Eine symmetrische Drehstromlast nimmt 50 kW bei einem Leistungsfaktor von 0,7 induktiv aus einem Netz mit 400 V (Leiterspannung) und 50 Hz auf. Eine parallel zur Last geschaltete Drehstrom-Kondensatorbatterie soll den Gesamtleistungsfaktor auf 0,9 induktiv anheben. Die Wirkleistung bleibt gleich. Bestimme die gesamte Blindleistung Q_C, die die Kondensatorbatterie liefern muss, in kvar.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V_L = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- und RL-AusgleichsvorgängeMittel

Die Spule führt keinen Strom, bevor der Schalter bei t = 0 schließt. Bestimme die in der Spule gespeicherte Energie W bei t = 1 ms in mJ.

V_s = 6 VR = 22 ΩL = 10 mHt = 1 ms

W = mJ

12.RC- und RL-AusgleichsvorgängeSchwer

Kurz bevor der Schalter bei t = 0 schließt, liegt am Kondensator eine Spannung von 20 V mit der eingezeichneten Polarität. Wie lange dauert es, bis v_C den Wert 11 V erreicht? Bestimme t.

V_s = 5 VR = 1 kΩC = 10 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

13.Thévenin und NortonMittel

Bestimme den Thévenin-Widerstand R_th an den Klemmen a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin und NortonSchwer

An a–b wird eine Last R_L = 3 Ω angeschlossen. Ersetze den Rest der Schaltung durch ihr Thévenin-Ersatzschaltbild und bestimme den Laststrom I_L.

V₁ = 5 VI_s = 1 AR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 10 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

15.Bode-Diagramme und ReservenMittel

Der gezeigte RL-Hochpass hat R = 1000 Ω, L = 1 mH. Ein sinusförmiges Eingangssignal von 640 kHz wird angelegt. Bestimme die Phasenverschiebung φ von v_out relativ zu v_in in Grad.

R = 1000 ΩL = 1 mHf = 640 kHz

φ = °

16.Bode-Diagramme und ReservenSchwer

Ein Regelkreis mit Einheitsrückführung hat die Übertragungsfunktion des offenen Kreises L(s) = K/(s(s + 1)(s + 8)). Bestimme die Verstärkung K, die eine Amplitudenreserve von 3 dB ergibt.

L(s) = K/(s(s + 1)(s + 8))GM = 3 dB

K =

3Lösungen

1.Komplexe Zahlen

Antwort: Re(w) = −4,5

Polarform: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, mit r = |z| und θ = arg z. Zurück zur kartesischen Form: a = r cos θ, b = r sin θ. Für das Argument braucht man den Quadranten: θ = atan(b/a) gilt nur für a > 0; für a < 0 addiere oder subtrahiere 180°. In der Polarform ist die Multiplikation einfach: Multipliziere die Beträge und addiere die Argumente; bei der Division teile die Beträge und subtrahiere die Argumente.

Betrag und Argument von w

|w| = 3 · 1,5 = 4,5

θ = 70° + 110° = 180°

Kartesische Form

Re(w) = 4,5·cos(180°) = −4,5

Im(w) = 4,5·sin(180°) = 0

Re(w) = −4,5

Antwort

Re(w) = −4,5

2.Komplexe Zahlen

Antwort: r = −3

De Moivre und Wurzeln: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Die Gleichung zⁿ = R∠φ hat genau n Lösungen, alle mit dem Betrag R^1/n, bei den Argumenten (φ + 360°·k)/n für k = 0, 1, …, n − 1: Sie liegen gleichmäßig verteilt auf einem Kreis, jeweils 360°/n auseinander. Eine quadratische Gleichung z² + pz + q = 0 mit p² < 4q hat die komplexen Lösungen z = −p/2 ± j√(q − p²/4); ein Polynom mit reellen Koeffizienten hat seine komplexen Nullstellen immer in konjugierten Paaren a ± jb.

Konjugiertes Paar

z₂ = −3 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 1²) = z² + 6z + 10

Das quadratische Polynom abspalten

z³ + 9z² + 28z + 30 = (z² + 6z + 10)(z + 3)

Reelle Lösung

r = −3

Antwort

r = −3

Kontrolliere mit der Summe der Lösungen: z₁ + z₂ + r = −6 + (−3) = −9 = −(9).

3.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: φ = 31,13 °

Wechselstromkreise mit Zeigern: Widerstände, Spulen und Kondensatoren haben die Impedanzen R, jωL und 1/(jωC), mit ω = 2πf. In Reihe addieren sich Impedanzen wie Widerstände, aber als komplexe Zahlen. Effektivwerte von Strom und Spannung folgen dem ohmschen Gesetz mit |Z|.

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (60,39)²) = 116,8 Ω

Phasenwinkel

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(60,39/100) = 31,13°

Antwort

φ = 31,13°

4.Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Antwort: V_C = 65,47 V

Blindwiderstände

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,25 = 78,54 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedanz

In Reihe addieren sich die Impedanzen als komplexe Zahlen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−239,8)²) = 243,1 Ω

Strom

Durch jedes Element einer Reihenschaltung fließt derselbe Strom.

I = V/|Z| = 50/243,1 = 0,2057 A

Spannung am Kondensator

V_C = I·X_C = 0,2057·318,3 = 65,47 V

Antwort

V_C = 65,47 V

5.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: S = 3527 VA

Wechselstromleistung: Die Scheinleistung S = V·I (VA) teilt sich in die Wirkleistung P = S·cos φ (W), die nutzbare Arbeit leistet, und die Blindleistung Q = S·sin φ (var), die zwischen Quelle und Last hin und her pendelt. Der Leistungsfaktor ist cos φ. Ein paralleler Kondensator liefert Blindleistung vor Ort, sodass der Leiterstrom bei gleicher Wirkleistung sinkt.

Strom

|Z| = √(9² + 12²) = 15 Ω

I = V/|Z| = 230/15 = 15,33 A

Scheinleistung

S = V·I = 230·15,33 = 3527 VA

Antwort

S = 3527 VA

6.Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

Antwort: P_max = 3306 W

Konjugiert komplexe Anpassung

Der Blindwiderstand der Last hebt den Blindwiderstand der Quelle auf, und der Lastwiderstand ist gleich dem Quellenwiderstand.

Z_L = Z_s* = 4 − j30 Ω

Maximale Leistung

I = V_s/(2R_s) = 230/8 = 28,75 A

P_max = I²·R_L = V_s²/(4R_s) = 230²/(4·4) = 3306 W

Antwort

P_max = 3306 W

7.LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite

Antwort: BW = 7,958 kHz

Gütefaktor und Bandbreite: In einem Resonanzkreis gilt Q = 2π·(gespeicherte Energie)/(Energieverlust pro Periode). Für den Reihen-RLC-Kreis ist Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); für den Parallel-RLC-Kreis ist Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). Die Bandbreite zwischen den Halbleistungsfrequenzen f₁ und f₂ (bei denen die Leistung halb so groß ist und Strom oder Spannung 1/√2 ihres Spitzenwerts betragen) ist BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, das heißt R/(2πL) in Reihe und 1/(2πRC) parallel. Die Resonanzfrequenz ist das geometrische Mittel f₀ = √(f₁f₂), und f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verluste lassen die Schwingung auch abklingen: Im Reihen-RLC-Kreis fällt die Amplitude wie e^−Rt/(2L).

Bandbreite in rad/s

R/L = 5/1 × 10⁻⁴ = 50000 rad/s

Bandbreite in Hz

BW = 50000/(2π) = 7958 Hz = 7,958 kHz

Antwort

BW = 7,958 kHz

Mit f₀ = 50,33 kHz ergibt sich Q = 6,325.

8.LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite

Antwort: R = 0,1382 Ω

Bandbreite in Reihe

BW = R/(2πL)

Widerstand

R = 2π·2,2 × 10⁻⁵·1000 = 0,1382 Ω

Antwort

R = 0,1382 Ω

9.Drehstromleistung

Antwort: P = 110,6 kW

Strangspannung

V_ph = V_L = 480 V

Strangstrom

|Z| = √(4² + 3²) = 5 Ω

I_ph = 480/5 = 96 A

Gesamte Wirkleistung

Nur der ohmsche Anteil jeder Impedanz nimmt Wirkleistung auf.

P = 3·I_ph²·R = 3·96²·4 = 110,6 kW

Antwort

P = 110,6 kW

Kontrolle: cos φ = R/|Z| = 0,8, und √3·V_L·I_L·cos φ ergibt dieselbe Leistung.

10.Drehstromleistung

Antwort: Q_C = 26,79 kvar

Symmetrische Drehstromsysteme: In der Sternschaltung (Y) ist die Leiterspannung √3-mal so groß wie die Strangspannung, V_L = √3·V_ph, und der Leiterstrom ist gleich dem Strangstrom. In der Dreieckschaltung (Δ) ist die Leiterspannung gleich der Strangspannung, und der Leiterstrom ist √3-mal so groß wie der Strangstrom, I_L = √3·I_ph. Die Gesamtleistung ist das Dreifache der Leistung eines Strangs: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Blindleistungskompensation: Kondensatoren liefern Blindleistung vor Ort, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Jeder der drei Kondensatoren liefert Q_C/3 = V²·ω·C, wobei V die Spannung an diesem Kondensator ist: V_L bei einer Dreieckbatterie, V_L/√3 bei einer Sternbatterie.

Blindleistung vorher und nachher

Die Wirkleistung ändert sich nicht, daher legt jeder Leistungsfaktor die Blindleistung fest: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0,7) = 50·1,02 = 51,01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar

Blindleistung der Kondensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,79 kvar

Antwort

Q_C = 26,79 kvar

11.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: W = 0,2941 mJ

Ausgleichsvorgänge erster Ordnung: In einer Schaltung mit einem Kondensator oder einer Spule läuft jede Spannung und jeder Strom exponentiell vom Anfangswert zum Endwert: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, mit τ = RC oder τ = L/R. Nach etwa 5τ ist die Schaltung eingeschwungen.

Zeitkonstante und Endstrom

Lange nach dem Schließen des Schalters wirkt die Spule wie ein Kurzschluss, daher bestimmt R allein den Endstrom.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 6/22 = 0,2727 A

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

i(t) = 0,2727·(1 − e^−1/0,4545) = 0,2425 A

Gespeicherte Energie

W = ½·L·i² = ½·10·0,2425² = 0,2941 mJ

Antwort

W = 0,2941 mJ

12.RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Antwort: t = 9,163 ms

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Die Kondensatorspannung kann nicht springen, daher startet sie bei ihrem gespeicherten Wert und strebt der Quellenspannung zu.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 1 kΩ · 10 µF = 10 ms

v_C(t) = 5 + (20 − 5)·e^−t/τ

Nach der Zeit auflösen

11 = 5 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (11 − 5)/(20 − 5) = 0,4

t = τ·ln((20 − 5)/(11 − 5)) = 10·ln(2,5) = 9,163 ms

Antwort

t = 9,163 ms

13.Thévenin und Norton

Antwort: R_th = 14,31 Ω

Satz von Thévenin: Jedes lineare Zweipolnetzwerk verhält sich wie eine einzige Spannungsquelle V_th in Reihe mit einem Widerstand R_th. Der Satz von Norton beschreibt dasselbe Netzwerk als Stromquelle I_N = V_th/R_th parallel zu R_th.

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 10·3/(10+3) = 2,308 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,308 + 12 = 14,31 Ω

14.Thévenin und Norton

Antwort: I_L = 0,9111 A

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Ersetze Spannungsquellen durch Kurzschlüsse und Stromquellen durch Leerläufe und blicke dann von a–b in die Schaltung.

R₁ ∥ R₂ = 6·3/(6+3) = 2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2 + 10 = 12 Ω

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung

Bei offenen Klemmen a–b fließt Iₛ nur über R₃ in Knoten A. Bestimme V_A durch Überlagerung von V₁ und Iₛ und addiere dann den Spannungsabfall an R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 1,667 + 1·2 = 3,667 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 3,667 + 1·10 = 13,67 V

Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen

Thévenin-Quelle und R_th in Reihe verhalten sich an a–b genau wie die ursprüngliche Schaltung, daher sieht die Last einen einfachen Reihenkreis.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 13,67/(12 + 3) = 0,9111 A

15.Bode-Diagramme und Reserven

Antwort: φ = 13,97 °

Frequenzgang: Setze s = jω in die Übertragungsfunktion ein. Der Betrag in Dezibel ist 20·log₁₀|H(jω)|, und die Phase ist die Summe der Winkel der Zählerfaktoren minus die der Nennerfaktoren. Ein RC- oder RL-Filter erster Ordnung hat seine Eckfrequenz (−3 dB) bei ω_c = 1/(RC) beziehungsweise R/L, und f_c = ω_c/(2π); ein Tiefpass liefert |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) und φ = −atan(ω/ω_c). Im asymptotischen (geradlinigen) Bode-Diagramm knickt jeder Pol den Betrag an seiner Eckfrequenz um 20 dB/Dekade nach unten, jede Nullstelle knickt ihn um 20 dB/Dekade nach oben, und ein Integrator 1/s ergibt bei allen Frequenzen −20 dB/Dekade. Durchtrittsfrequenz ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); Phasenreserve PM = 180° + ∠L(jω_c). Phasendurchtrittsfrequenz ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; Amplitudenreserve GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. Der geschlossene Regelkreis ist stabil, wenn beide Reserven positiv sind.

Eckfrequenz

ω_c = R/L = 1000/0,001 = 1 × 10⁶ rad/s

f_c = 159155 Hz → f/f_c = 640000/159155 = 4,021

Phase

φ = 90° − atan(4,021) = 13,97°

Antwort

φ = 13,97°

16.Bode-Diagramme und Reserven

Antwort: K = 50,97

Phasendurchtritt

(ω/1)·(ω/8) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·8) = 2,828 rad/s

Betrag am Phasendurchtritt

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 64)) = K/(1·8·(1 + 8)) = K/72

Geforderte Verstärkung

72/K = 10^3/20 = 1,413

K = 72/1,413 = 50,97

Antwort

K = 50,97

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Grundlagen der Elektrotechnik 2: Wechselstromkreise: Lernpaket

1Formeln und Methoden

Komplexe Zahlen

Methode

Wechselstrom: Impedanz und Zeiger

Methode

Wechselstromleistung und Leistungsfaktor

LC-Resonanz, Gütefaktor und Bandbreite

Methode

Drehstromleistung

RC- und RL-Ausgleichsvorgänge

Methode

Thévenin und Norton

Methode

2Übungsaufgaben

3Lösungen

Betrag und Argument von w

Kartesische Form

Antwort

Konjugiertes Paar

Das quadratische Polynom abspalten

Reelle Lösung

Antwort

Blindwiderstände

Impedanz

Phasenwinkel

Antwort

Blindwiderstände

Impedanz

Strom

Spannung am Kondensator

Antwort

Strom

Scheinleistung

Antwort

Konjugiert komplexe Anpassung

Maximale Leistung

Antwort

Bandbreite in rad/s

Bandbreite in Hz

Antwort

Bandbreite in Reihe

Widerstand

Antwort

Strangspannung

Strangstrom

Gesamte Wirkleistung

Antwort

Blindleistung vorher und nachher

Blindleistung der Kondensatoren

Antwort

Zeitkonstante und Endstrom

Strom zum gegebenen Zeitpunkt

Gespeicherte Energie

Antwort

Anfangswert, Endwert, Zeitkonstante

Nach der Zeit auflösen

Antwort

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Rth bei abgeschalteten Quellen bestimmen

Vth bestimmen, die Leerlaufspannung

Die Last an das Thévenin-Ersatzschaltbild anschließen

Eckfrequenz

Phase

Antwort

Phasendurchtritt

Betrag am Phasendurchtritt

Geforderte Verstärkung

Antwort

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

R_th bei abgeschalteten Quellen bestimmen

V_th bestimmen, die Leerlaufspannung