Grundlagen der Informatik: Lernpaket

Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.

Bits setzen: Jedes Bit hat den Wert einer Zweierpotenz (128, 64, …, 1). Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Bits, und im 8-Bit-Zweierkomplement hat das linke Bit den Wert −128. Bitweise Operationen wirken auf jede Bitposition einzeln.

Logische Äquivalenz: Zwei Formeln sind äquivalent (≡), wenn sie in jeder Zeile der Wahrheitstafel denselben Wert haben. Eine Tautologie ist in jeder Zeile 1, eine Kontradiktion in jeder Zeile 0, und eine Kontingenz ist keines von beiden. Nützliche Gesetze: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b und ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (Kontraposition); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; und die Distributivgesetze, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.

Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.

Flipflops und Zähler: Ein Flipflop ändert sich nur bei der aktiven Taktflanke. D übernimmt seinen Eingang (Q⁺ = D); T kippt bei T = 1; JK hält bei 00, setzt bei 01 zurück, setzt bei 10 und kippt bei 11. Ein n-Bit-Binärzähler hat 2ⁿ Zustände und zählt modulo 2ⁿ; ein Mod-N-Zähler läuft 0, 1, …, N − 1 und wieder auf 0 und braucht die kleinste Anzahl n von Flipflops mit 2ⁿ ≥ N. Jede Stufe eines Asynchronzählers halbiert die Frequenz, daher läuft der letzte Ausgang eines Mod-N-Zählers mit f_clk/N. Ein Johnson-Zähler aus n Flipflops hat 2n Zustände, ein Ringzähler n.

Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Modulare Potenzen und RSA: Berechne aᵏ mod n durch wiederholtes Quadrieren: Schreibe k binär, quadriere, reduziere nach jedem Schritt und multipliziere die Potenzen, deren Bit 1 ist. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) für eine Primzahl p, die a nicht teilt, der Exponent lässt sich also modulo p − 1 reduzieren. RSA: Wähle Primzahlen p und q, n = p·q und φ(n) = (p − 1)(q − 1); der öffentliche Exponent e ist teilerfremd zu φ(n), und der private Exponent ist d = e⁻¹ mod φ(n). Verschlüssele mit c = mᵉ mod n und entschlüssele mit m = cᵈ mod n.

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Grade: Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Kanten, die an ihm enden. Jede Kante hat zwei Enden, daher summieren sich die Grade zum Doppelten der Kantenzahl: Σ deg(v) = 2|E| (das Handschlaglemma). Die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad ist deshalb gerade. K_n hat n(n − 1)/2 Kanten, ein k-regulärer Graph mit n Knoten hat nk/2, und ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

IPv4-Subnetting: Eine Adresse hat 32 Bits. Das Präfix /p gibt an, wie viele führende Bits das Netz bezeichnen; die übrigen 32 − p Bits nummerieren die Hosts. Ein Subnetz hat 2³²⁻ᵖ Adressen, aber die erste (Netzadresse) und die letzte (Broadcast-Adresse) können keinem Host gegeben werden, also passen 2³²⁻ᵖ − 2 Hosts hinein. Ausnahmen: Ein /31 (Punkt-zu-Punkt-Verbindung, RFC 3021) nutzt beide seiner 2 Adressen für Hosts, und ein /32 ist eine einzelne Adresse (ein einzelner Host oder ein Loopback).

IPv4-Subnetting: Eine Adresse hat 32 Bits. Das Präfix /p gibt an, wie viele führende Bits das Netz bezeichnen; die übrigen 32 − p Bits nummerieren die Hosts. Ein Subnetz hat 2³²⁻ᵖ Adressen, aber die erste (Netzadresse) und die letzte (Broadcast-Adresse) können keinem Host gegeben werden, also passen 2³²⁻ᵖ − 2 Hosts hinein. Ausnahmen: Ein /31 (Punkt-zu-Punkt-Verbindung, RFC 3021) nutzt beide seiner 2 Adressen für Hosts, und ein /32 ist eine einzelne Adresse (ein einzelner Host oder ein Loopback).