Grundlagen der Informatik: Lernpaket

Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.

Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.

Wahrheitstafeln: Eine Formel mit n verschiedenen Variablen hat 2ⁿ Zeilen, eine für jede Kombination von Wahrheitswerten (1 = wahr, 0 = falsch). Arbeite von innen nach außen und gib jeder Teilformel eine eigene Spalte. ¬a kehrt den Wert um; a ∧ b ist nur 1, wenn beide 1 sind; a ∨ b ist nur 0, wenn beide 0 sind; a → b ist nur 0, wenn a = 1 und b = 0; a ↔ b ist 1, wenn beide Seiten gleich sind.

Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.

Multiplexer: Ein 2ⁿ-zu-1-Multiplexer schaltet einen seiner Dateneingänge auf den Ausgang durch; die als Binärzahl gelesenen Auswahlleitungen bestimmen, welchen. Bei einem 4-zu-1-MUX mit den Auswahleingängen S₁S₀ = AB gilt F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃. Legt man die Dateneingänge auf 0, 1, C oder C′, erzeugt der MUX jede Funktion von A, B und C, was ein gängiger Weg ist, Logik mit einem Baustein aufzubauen.

Flipflops und Zähler: Ein Flipflop ändert sich nur bei der aktiven Taktflanke. D übernimmt seinen Eingang (Q⁺ = D); T kippt bei T = 1; JK hält bei 00, setzt bei 01 zurück, setzt bei 10 und kippt bei 11. Ein n-Bit-Binärzähler hat 2ⁿ Zustände und zählt modulo 2ⁿ; ein Mod-N-Zähler läuft 0, 1, …, N − 1 und wieder auf 0 und braucht die kleinste Anzahl n von Flipflops mit 2ⁿ ≥ N. Jede Stufe eines Asynchronzählers halbiert die Frequenz, daher läuft der letzte Ausgang eines Mod-N-Zählers mit f_clk/N. Ein Johnson-Zähler aus n Flipflops hat 2n Zustände, ein Ringzähler n.

Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Modulare Potenzen und RSA: Berechne aᵏ mod n durch wiederholtes Quadrieren: Schreibe k binär, quadriere, reduziere nach jedem Schritt und multipliziere die Potenzen, deren Bit 1 ist. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) für eine Primzahl p, die a nicht teilt, der Exponent lässt sich also modulo p − 1 reduzieren. RSA: Wähle Primzahlen p und q, n = p·q und φ(n) = (p − 1)(q − 1); der öffentliche Exponent e ist teilerfremd zu φ(n), und der private Exponent ist d = e⁻¹ mod φ(n). Verschlüssele mit c = mᵉ mod n und entschlüssele mit m = cᵈ mod n.

Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; K_n hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.

Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.

IPv4-Subnetting: Eine Adresse hat 32 Bits. Das Präfix /p gibt an, wie viele führende Bits das Netz bezeichnen; die übrigen 32 − p Bits nummerieren die Hosts. Ein Subnetz hat 2³²⁻ᵖ Adressen, aber die erste (Netzadresse) und die letzte (Broadcast-Adresse) können keinem Host gegeben werden, also passen 2³²⁻ᵖ − 2 Hosts hinein. Ausnahmen: Ein /31 (Punkt-zu-Punkt-Verbindung, RFC 3021) nutzt beide seiner 2 Adressen für Hosts, und ein /32 ist eine einzelne Adresse (ein einzelner Host oder ein Loopback).

IPv4-Subnetting: Eine Adresse hat 32 Bits. Das Präfix /p gibt an, wie viele führende Bits das Netz bezeichnen; die übrigen 32 − p Bits nummerieren die Hosts. Ein Subnetz hat 2³²⁻ᵖ Adressen, aber die erste (Netzadresse) und die letzte (Broadcast-Adresse) können keinem Host gegeben werden, also passen 2³²⁻ᵖ − 2 Hosts hinein. Ausnahmen: Ein /31 (Punkt-zu-Punkt-Verbindung, RFC 3021) nutzt beide seiner 2 Adressen für Hosts, und ein /32 ist eine einzelne Adresse (ein einzelner Host oder ein Loopback).