Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 20 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Schreibe −100 als 8-Bit-Muster im Zweierkomplement. Lies das Muster als vorzeichenlose Binärzahl: Welchen Wert U hat es im Dezimalsystem?
Ein System muss jedem von 180 Elementen einen eigenen Binärcode gleicher Länge geben. Wie viele Bits b braucht es mindestens?
Du willst ¬c → b durch Kontraposition beweisen. Welche Implikation beweist du stattdessen? Klicke sie an.
Welche Aussage ist äquivalent zu ¬∃x (F(x) → G(x)), wenn die Negation ganz nach innen gezogen ist? Klicke sie an.
Bestimme mit dem Karnaugh-Diagramm die minimale Summe von Produkten (SOP) von F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 8, 9, 10, 11, 14). Wie viele Produktterme N hat sie?
Ein flankengesteuertes T-Flipflop (positive Flanke) startet mit Q = 0 und erhält die gezeigten Eingänge. Klicke die erste Taktflanke an, bei der Q von 1 wieder auf 0 geht.
Bestimme das Inverse von 10 modulo 23: die Zahl x mit 0 < x < 23 und 10·x ≡ 1 (mod 23).
89 ist eine Primzahl. Bestimme 2369818 mod 89 mit dem kleinen Satz von Fermat.
Welche Zeitkomplexität hat der übliche Algorithmus der dynamischen Programmierung für die längste gemeinsame Teilfolge zweier Zeichenketten der Längen m und n?
Welche Schranke ist für log(n!) richtig?
Wie lange dauert die Suche nach einem Wort der Länge L in einem Trie mit festem Alphabet?
Ein Objekt wird als Schlüssel in einer Hashmap gespeichert, danach wird ein Feld geändert, das in seine Hashfunktion eingeht. Was ist die wahrscheinliche Folge?
Ein zusammenhängender Graph hat 17 Knoten und 20 Kanten. Wie viele Kanten k müssen entfernt werden, damit ein aufspannender Baum übrig bleibt?
Der Dijkstra-Algorithmus läuft von A aus. Klicke den Knoten an, der in Runde 6 abgeschlossen (endgültig gemacht) wird; A selbst ist Runde 1.
Eine Tabelle employees hat eine Spalte manager_id, die auf einen anderen Mitarbeiter verweist. Wie listest du jeden Mitarbeiter neben dem Namen seines Vorgesetzten auf?
Was ist ein Phantom Read?
Welcher CIDR-Notation entspricht die Subnetzmaske 255.255.255.0?
Wie unterscheidet sich bei Sliding-Window-Protokollen Go-Back-N von Selective Repeat, wenn ein Rahmen verloren geht?
Eine Abteilung braucht 1514 Hostadressen in einem einzigen Subnetz. Welche ist die längste Präfixlänge p (kleinstes Subnetz), die groß genug ist?
Das Netz 192.168.208.0/24 wird mit VLSM für diese LANs aufgeteilt: A: 34 Hosts, B: 5 Hosts, C: 107 Hosts, D: 13 Hosts. Die Subnetze werden ab .0 aufwärts vergeben, das LAN mit den meisten Hosts zuerst, jedes mit dem kleinsten passenden Subnetz. Wie lautet das vierte Oktett x der Netzadresse von LAN A?
Antwort: U = 156
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Antwort: b = 8 bit
Stellenwertsysteme: Jede Ziffer ist ihren Wert mal eine Potenz der Basis wert. Im Binärsystem sind die Stellen 1, 2, 4, 8, 16, … wert, im Hexadezimalsystem 1, 16, 256, …, wobei A–F für 10–15 stehen. Im 8-Bit-Zweierkomplement ist das linke Bit −128 statt +128 wert; so werden negative Zahlen gespeichert.
Antwort: ¬b → ¬¬c
Logische Äquivalenz: Zwei Formeln sind äquivalent (≡), wenn sie in jeder Zeile der Wahrheitstafel denselben Wert haben. Eine Tautologie ist in jeder Zeile 1, eine Kontradiktion in jeder Zeile 0, und eine Kontingenz ist keines von beiden. Nützliche Gesetze: De Morgan, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b und ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (Kontraposition); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; und die Distributivgesetze, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Die Kontraposition ist äquivalent zur ursprünglichen Aussage, ihr Beweis beweist also die Aussage.
Antwort: ∀x (F(x) ∧ ¬G(x))
Quantoren und Argumente: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) und ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Ziehe eine Negation nach innen, vertausche jeden Quantor, den sie passiert, und negiere die innere Formel mit den aussagenlogischen Gesetzen, etwa ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Ein Argument ist gültig, wenn die Konklusion in jeder Zeile 1 ist, in der alle Prämissen 1 sind. Eine einzige Zeile mit wahren Prämissen und falscher Konklusion ist ein Gegenbeispiel und zeigt, dass das Argument ungültig ist.
Die anderen Optionen lassen entweder einen Quantor unverändert, ändern die Reihenfolge der Quantoren oder negieren die innere Formel falsch.
Antwort: N = 3
Karnaugh-Diagramme: Die Felder sind im Gray-Code (00, 01, 11, 10) angeordnet, benachbarte Felder, auch die über den Rand hinweg, unterscheiden sich also in genau einer Variablen. Fasse die Einsen in Rechtecken aus 1, 2, 4, 8 oder 16 Feldern zusammen, so groß und so wenige wie möglich, bis jede 1 abgedeckt ist. Jede Gruppe ist ein Produktterm: die Variablen, die in ihr konstant bleiben. Eine Gruppe aus 2ᵏ Feldern verliert k Variablen. Don’t-Cares (X) dürfen genutzt werden, um Gruppen zu vergrößern, müssen aber nie abgedeckt werden. Fasst du stattdessen die Nullen zusammen, erhältst du die minimale POS-Form.
Jede Gruppe ist ein Rechteck aus 2ᵏ Feldern; Randfelder sind Nachbarn der Felder am gegenüberliegenden Rand.
Antwort: Taktflanke 7
Flipflops und Zähler: Ein Flipflop ändert sich nur bei der aktiven Taktflanke. D übernimmt seinen Eingang (Q⁺ = D); T kippt bei T = 1; JK hält bei 00, setzt bei 01 zurück, setzt bei 10 und kippt bei 11. Ein n-Bit-Binärzähler hat 2ⁿ Zustände und zählt modulo 2ⁿ; ein Mod-N-Zähler läuft 0, 1, …, N − 1 und wieder auf 0 und braucht die kleinste Anzahl n von Flipflops mit 2ⁿ ≥ N. Jede Stufe eines Asynchronzählers halbiert die Frequenz, daher läuft der letzte Ausgang eines Mod-N-Zählers mit fclk/N. Ein Johnson-Zähler aus n Flipflops hat 2n Zustände, ein Ringzähler n.
Ein T-Flipflop kippt bei jeder steigenden Flanke mit T = 1 und hält bei T = 0.
Antwort: 10−1 mod 23 = 7
Inverse und Kongruenzen: a hat genau dann ein Inverses modulo n, wenn ggT(a, n) = 1. Der erweiterte euklidische Algorithmus schreibt 1 = s·n + t·a, und dann ist a⁻¹ ≡ t (mod n). Eine Kongruenz a·x ≡ b (mod n) mit ggT(a, n) = 1 hat die Lösung x ≡ a⁻¹·b. Zwei Kongruenzen x ≡ r₁ (mod m₁) und x ≡ r₂ (mod m₂) mit teilerfremden Moduln haben eine Lösung modulo m₁·m₂ (chinesischer Restsatz). Eulers φ(n) zählt die Zahlen von 1 bis n, die zu n teilerfremd sind: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Jeder Rest r wird als r ≡ t·10 (mod 23) geschrieben.
Antwort: 2369818 mod 89 = 9
Modulare Potenzen und RSA: Berechne aᵏ mod n durch wiederholtes Quadrieren: Schreibe k binär, quadriere, reduziere nach jedem Schritt und multipliziere die Potenzen, deren Bit 1 ist. Fermat: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) für eine Primzahl p, die a nicht teilt, der Exponent lässt sich also modulo p − 1 reduzieren. RSA: Wähle Primzahlen p und q, n = p·q und φ(n) = (p − 1)(q − 1); der öffentliche Exponent e ist teilerfremd zu φ(n), und der private Exponent ist d = e⁻¹ mod φ(n). Verschlüssele mit c = mᵉ mod n und entschlüssele mit m = cᵈ mod n.
Antwort: D · O(mn)
Die Tabelle hat (m + 1)(n + 1) Zellen, und jede wird in O(1) aus ihren Nachbarn berechnet.
Antwort: A · Θ(n log n)
log(n!) ≤ n log n, und die größten n / 2 Faktoren ergeben log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); deshalb braucht vergleichsbasiertes Sortieren Ω(n log n).
Antwort: B · O(L), unabhängig davon, wie viele Wörter gespeichert sind
Jedes Zeichen wählt ein Kind aus, daher braucht eine Suche L Schritte, egal wie viele Wörter der Trie enthält.
Antwort: C · Die Suche nach dem Objekt kann fehlschlagen, weil es im Bucket seines alten Hashs liegt
Der Platz des Schlüssels wurde anhand seines alten Hashs gewählt; mit einem neuen Hash suchen Abfragen im falschen Bucket, daher sollten Schlüssel unveränderlich sein.
Antwort: k = 4
Euler, Hamilton und Bäume: Ein zusammenhängender Graph hat einen Euler-Kreis (jede Kante einmal, zurück zum Start), wenn jeder Knoten geraden Grad hat, und einen Euler-Weg, der kein Kreis ist, wenn genau zwei Knoten ungeraden Grad haben; der Weg verläuft dann von einem ungeraden Knoten zum anderen. Ein Hamilton-Kreis besucht jeden Knoten einmal; Kn hat (n − 1)!/2 davon. Ein Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten, und ein zusammenhängender Graph mit m Kanten behält einen aufspannenden Baum, wenn man m − n + 1 Kanten entfernt.
Antwort: E
Kürzeste Wege und aufspannende Bäume: Der Dijkstra-Algorithmus schließt in jeder Runde einen Knoten ab: den offenen Knoten mit dem kleinsten vorläufigen Abstand. Sein Abstand ist dann endgültig, und jeder Nachbar v erhält d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Der Kruskal-Algorithmus baut einen minimalen aufspannenden Baum auf, indem er die Kanten von leicht nach schwer nimmt und jede Kante überspringt, die einen Kreis schließen würde; der Prim-Algorithmus lässt einen Baum von einem Startknoten aus wachsen, indem er immer die leichteste Kante hinzufügt, die aus ihm herausführt. Ein aufspannender Baum mit n Knoten hat n − 1 Kanten.
Antwort: C · Die Tabelle employees mit sich selbst über zwei Aliase verbinden
Ein Self-Join wie FROM employees e JOIN employees m ON e.manager_id = m.id lässt einen Alias den Mitarbeiter und den anderen den Vorgesetzten darstellen.
Antwort: C · Eine wiederholte Abfrage liefert neue Zeilen, die von einer anderen festgeschriebenen Transaktion eingefügt wurden
Phantome entstehen, wenn eine andere Transaktion Zeilen einfügt, die eine Bereichsbedingung erfüllen; die Isolationsstufe Serializable verhindert sie.
Antwort: D · /24
Drei Oktette mit 255 ergeben 24 Einsen, also 255.255.255.0 = /24.
Antwort: C · Go-Back-N sendet den verlorenen Rahmen und alle späteren erneut; Selective Repeat nur den verlorenen
Ein Go-Back-N-Empfänger verwirft Rahmen außer der Reihe, daher muss der Sender alles nach dem Verlust wiederholen. Selective Repeat puffert sie und fordert nur den fehlenden an.
Antwort: p = 21
IPv4-Subnetting: Eine Adresse hat 32 Bits. Das Präfix /p gibt an, wie viele führende Bits das Netz bezeichnen; die übrigen 32 − p Bits nummerieren die Hosts. Ein Subnetz hat 2³²⁻ᵖ Adressen, aber die erste (Netzadresse) und die letzte (Broadcast-Adresse) können keinem Host gegeben werden, also passen 2³²⁻ᵖ − 2 Hosts hinein. Ausnahmen: Ein /31 (Punkt-zu-Punkt-Verbindung, RFC 3021) nutzt beide seiner 2 Adressen für Hosts, und ein /32 ist eine einzelne Adresse (ein einzelner Host oder ein Loopback).
Antwort: x = 128
VLSM: Jedes LAN erhält das kleinste Subnetz mit 2ʰ − 2 ≥ seiner Hostzahl, also das Präfix 32 − h. Vergibt man die größten Subnetze zuerst, liegt jeder Block auf einem Vielfachen seiner eigenen Größe, und die Netzadressen ergeben sich durch Addieren der Blockgrößen.
LAN A: 192.168.208.128/26.
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