Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €2 000, 13 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 8 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €2 000i = 8%n = 13

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €25 000 wird über 4 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €25 0006% / 12N = 48

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €21 000, €12 000, €19 000. Die Kapitalkosten betragen 15 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 15%CF₀ = −45 000CF₁ = 21 000CF₂ = 12 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €19 500, €12 500, €21 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 10 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 10%CF₀ = −40 000CF₁ = 19 500CF₂ = 12 500CF₃ = 21 500

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 12 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 5,5%n = 12

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 7% wird in 7 Jahren fällig und kostet €900. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 7%n = 7P = €900

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,75. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 6%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1D/E = 0,75T = 25,8%r_f = 4%r_m − r_f = 6%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €65 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €100 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €10 000 zu erzielen?

F = €100 000p = €65v = €45Gewinn = €10 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €23 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €8 pro Stück und Fixkosten von €12 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 960 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €12 000p = €23v = €8Plan = 960

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 15808 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3677)/0,08 = 7,904

Barwert

PV = 2 000·7,904 = €15 807,55

Antwort

PV = €15 807,55

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 587,1 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·4 = 48

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,7871

A = 25 000·0,005/(1 − 0,7871) = €587,13

Antwort

A = €587,13

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −5173 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 21 000/1,15 = 18 260,87

CF₂/(1 + 0,15)² = 12 000/1,322 = 9 073,72

CF₃/(1 + 0,15)³ = 19 000/1,521 = 12 492,81

Addieren

NPV = €−5 172,60

Antwort

NPV = €−5 172,60

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 13,73 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

19 500·1,1² = 23 595,00

12 500·1,1¹ = 13 750,00

21 500·1,1⁰ = 21 500,00

TV = 58 845,00

MIRR

MIRR = (58 845,00/40 000)^1/3 − 1 = 13,73%

Antwort

MIRR = 13,73%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 869,5 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,0275, N = 24

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €348,02

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,5215 = €521,48

Kurs

P = €869,49

Antwort

P = €869,49

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 8,986 %

Gleichung für die Rendite

€900 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(8%) = €947,94, P(9%) = €899,34

YTM = 8,986%

Antwort

YTM = 8,986%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,288 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·12% + 0,4286·4,5%·(1 − 0,258) = 8,288%

Antwort

WACC = 8,288%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13,34 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1·(1 + 0,742·0,75) = 1,556

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,556·6% = 13,34%

Antwort

r_e = 13,34%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 5500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 65 − 45 = €20

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (100 000 + 10 000)/20 = 5 500

Antwort

Q = 5 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 16,67 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 12 000/15 = 800

Sicherheitsabstand

MS = (960 − 800)/960·100 = 16,67%

Antwort

MS = 16,67%

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