Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €12 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 8 Jahren.

PV = €12 0003% / 12n = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €20 000 zu 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €375 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €20 000A = €3752,4% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €12 000, €9 000, €7 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 12 000CF₂ = 9 000CF₃ = 7 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €7 500, €9 500, €10 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 9 500CF₃ = 10 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% und wird in 4 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 5,5% auf 5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 4y₁ = 5,5%y₂ = 5%

ΔP = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4,5% in zwei Halbjahresraten und wird in 6 Jahren fällig. Sie wird für €949 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5% (2×)n = 6P = €949

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €8 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 28%. Bestimme den WACC.

E = €8 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 3,5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €35,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4% und der Steuersatz 25%. Das Beta der Aktie ist 1,8, der risikofreie Zinssatz 2,5% und die Marktrendite 9,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,8r_f = 2,5%r_m = 9,5%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €48 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €12 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €12 000 zu erzielen?

F = €12 000p = €48v = €45Gewinn = €12 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft 4 000 Stück zu je €30, mit variablen Kosten von €15 pro Stück und Fixkosten von €37 500. Um wie viel Prozent %ΔΠ ändert sich das Betriebsergebnis, wenn die Absatzmenge um 8 % steigt?

Q = 4 000p = €30v = €15F = €37 500%ΔQ = +8%

%ΔΠ = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 15250 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·8 = 96

Endwert

FV = 12 000·(1 + 0,0025)⁹⁶ = 12 000·1,271 = €15 250,42

Antwort

FV = €15 250,42

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 57 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,002

(1 + i)^−N = 1 − 20 000·0,002/375 = 0,8933

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8933)/ln(1,002) = 56,45

Auf ganze Raten aufrunden

56 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 57

Antwort

N = 57 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −4792 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 12 000/1,06 = 11 320,75

CF₂/(1 + 0,06)² = 9 000/1,124 = 8 009,97

CF₃/(1 + 0,06)³ = 7 000/1,191 = 5 877,33

Addieren

NPV = €−4 791,94

Antwort

NPV = €−4 791,94

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 15,8 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(15%) = 280,27

NPV(20%) = −1 365,74

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 15 + 5·280,27/(280,27 − (−1 365,74)) = 15,85%

exakt: NPV(15,8%) = 0 → IRR = 15,8%

Antwort

IRR = 15,8%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 16,71 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €30,00, i = 0,055, N = 4

€30,00·(1 − 0,8072)/0,055 + €1 000·0,8072 = €105,15 + €807,22 = €912,37

Kurs bei der neuen Rendite

C = €30,00, i = 0,05, N = 4

€30,00·(1 − 0,8227)/0,05 + €1 000·0,8227 = €106,38 + €822,70 = €929,08

Änderung

ΔP = 929,08 − 912,37 = €16,71

Antwort

ΔP = €16,71

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,51 %

Pro Periode

C = €22,50, N = 12

Numerisch lösen

i = 2,755% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·2,755% = 5,51%

Antwort

YTM = 5,51%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,223 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €14 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,28) = 6,223%

Antwort

WACC = 6,223%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 14,75 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€35,50 = €177 500 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,8·7% = 15,1%

Gewichte

V = €182 750 000, E/V = 0,9713, D/V = 0,02873

WACC

WACC = 0,9713·15,1% + 0,02873·4%·(1 − 0,25) = 14,75%

Antwort

WACC = 14,75%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 8000 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 48 − 45 = €3

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (12 000 + 12 000)/3 = 8 000

Antwort

Q = 8 000 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: %ΔΠ = 21,33 %

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Deckungsbeitrag und Gewinn

CM = 4 000·15 = €60 000

Π = 60 000 − 37 500 = €22 500

DOL

DOL = 60 000/22 500 = 2,667

Änderung des Gewinns

%ΔΠ = 2,667·(+8%) = +21,33%

Antwort

%ΔΠ = +21,33%

Probe: neuer Gewinn = 4 320·15 − 37 500 = €27 300,00.

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