Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 4 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 8 Jahren.

PV = €5 0004% / 12n = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 15 Jahren €20 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €20 0003,6% / 12N = 180

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €60 000, hält 7 Jahre und verursacht €3 000 Betriebskosten pro Jahr (am Ende jedes Jahres gezahlt). Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme ihre äquivalenten jährlichen Kosten EAC.

C₀ = €60 000M = €3 000n = 7r = 10%

EAC = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Eine Investition von €80 000 bringt 6 Jahre lang am Ende jedes Jahres €19 500. Bestimme ihren internen Zinsfuß IRR in Prozent.

C₀ = €80 000CF = €19 500n = 6

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 12 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 8%YTM = 3%n = 12

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 10 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%) wird für €1 081 verkauft. Der Emittent kann sie in 3 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 050 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 5%P = €1 081Kündigungskurs = €1 050Kündigung in 3 Jahre

YTC = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 8%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €4 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,4 ein Beta von 1,2. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,2D/E₁ = 0,4D/E₂ = 1T = 21%r_f = 2,5%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €25 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück. Die Fixkosten betragen €5 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?

F = €5 000p = €25v = €20Gewinn = €2 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €35 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €15 pro Stück und Fixkosten von €80 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 4 800 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €80 000p = €35v = €15Plan = 4 800

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 6882 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,04/12 = 0,003333

N = m·n = 12·8 = 96

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,003333)⁹⁶ = 5 000·1,376 = €6 881,98

Antwort

FV = €6 881,98

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 83,96 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·15 = 180

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,003/(1,715 − 1) = €83,96

Antwort

A = €83,96

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: EAC = 15324 €

Äquivalente jährliche Kosten: Verteile den Barwert aller Kosten als gleichen jährlichen Betrag (eine Rente) über die Lebensdauer: EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). So lassen sich Maschinen mit unterschiedlicher Lebensdauer vergleichen.

Rentenbarwertfaktor

(1 − 1,1⁻⁷)/0,1 = 4,868

Annualisierter Kaufpreis

60 000/4,868 = 12 324,33

EAC

EAC = 12 324,33 + 3 000 = €15 324,33

Antwort

EAC = €15 324,33

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 12,08 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Erforderlicher Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻⁶)/i = 80 000/19 500 = 4,103

Nach dem Zinssatz auflösen

Der Rentenbarwertfaktor sinkt, wenn der Zinssatz steigt; schließe den Zinssatz ein und grenze ihn ein.

i = 12%: 4,111

i = 13%: 3,998

IRR = 12,08%

Antwort

IRR = 12,08%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1501 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €40,00, i = 0,015, N = 24

Barwert der Kupons

€40,00·(1 − 0,6995)/0,015 = €801,22

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,6995 = €699,54

Kurs

P = €1 500,76

Antwort

P = €1 500,76

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 3,704 %

Gleichung für die Rendite

1081 = 50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1050/(1 + y)³

Numerisch lösen

y = 3%: €1 102,33

y = 4%: €1 072,20

YTC = 3,704%

Antwort

YTC = 3,704%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 4,001%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,679 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €14 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,25) = 6,679%

Antwort

WACC = 6,679%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13,11 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,2/(1 + 0,79·0,4) = 0,9119

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 0,9119·(1 + 0,79·1) = 1,632

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,632·6,5% = 13,11%

Antwort

r_e = 13,11%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1400 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 25 − 20 = €5

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (5 000 + 2 000)/5 = 1 400

Antwort

Q = 1 400 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 16,67 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 80 000/20 = 4 000

Sicherheitsabstand

MS = (4 800 − 4 000)/4 800·100 = 16,67%

Antwort

MS = 16,67%

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