Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €15 000 in 2 Jahren. Ein Konto bringt 6 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €15 0006% / 4n = 2

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €20 000 wird über 5 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.

P = €20 0004,2% / 12N = 60

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €13 000, €14 000, €17 000. Die Kapitalkosten betragen 9 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €28 500, €20 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 20 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 15 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5,5% für €900 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 15P = €900YTM = 5,5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 4 Jahren fällig und kostet €935. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 4P = €935

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000D = €6 000 000r_e = 11%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 500 000 Aktien zu je €22,00 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €980. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 3,5% und die Marktrendite 9%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 3,5%r_m = 9%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €18 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €6 pro Stück. Die Fixkosten betragen €60 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €6 000 zu erzielen?

F = €60 000p = €18v = €6Gewinn = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €20 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €8 pro Stück und Fixkosten von €12 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 300 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €12 000p = €20v = €8Plan = 1 300

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 13316 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·2 = 8

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1,126 = €13 315,67

Antwort

PV = €13 315,67

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 370,1 €

Monatszins und Anzahl der Raten

i = 0,042/12 = 0,0035

N = 12·5 = 60

Rate

Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.

(1 + i)^−N = 0,8109

A = 20 000·0,0035/(1 − 0,8109) = €370,14

Antwort

A = €370,14

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −8163 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 13 000/1,09 = 11 926,61

CF₂/(1 + 0,09)² = 14 000/1,188 = 11 783,52

CF₃/(1 + 0,09)³ = 17 000/1,295 = 13 127,12

Addieren

NPV = €−8 162,76

Antwort

NPV = €−8 162,76

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 14,8 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(10%) = 2 438,02

NPV(15%) = −94,52

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 10 + 5·2 438,02/(2 438,02 − (−94,52)) = 14,81%

exakt: NPV(14,8%) = 0 → IRR = 14,8%

Antwort

IRR = 14,8%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4,504 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,055)⁻¹⁵ = €447,93

Kupon

C = (900 − 447,93)/10,04 = €45,04

Kuponsatz

c = 45,04/1000 = 4,504%

Antwort

c = 4,504%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 7,961 %

Gleichung für die Rendite

€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(7%) = €966,13, P(8%) = €933,76

YTM = 7,961%

Antwort

YTM = 7,961%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,724 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455

WACC

WACC = 0,4545·11% + 0,5455·4%·(1 − 0,21) = 6,724%

Antwort

WACC = 6,724%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,097 %

Marktwerte

E = 2 500 000·€22,00 = €55 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3,5% + 1,3·5,5% = 10,65%

Gewichte

V = €74 600 000, E/V = 0,7373, D/V = 0,2627

WACC

WACC = 0,7373·10,65% + 0,2627·6%·(1 − 0,21) = 9,097%

Antwort

WACC = 9,097%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 5500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 18 − 6 = €12

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (60 000 + 6 000)/12 = 5 500

Antwort

Q = 5 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 23,08 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 12 000/12 = 1 000

Sicherheitsabstand

MS = (1 300 − 1 000)/1 300·100 = 23,08%

Antwort

MS = 23,08%

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