Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €12 000 zu einem Nominalzins von 6 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 5 Jahren.

PV = €12 0006% / 12n = 5

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €20 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 3 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €20 0003% / 12N = 60

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 7 Jahre lang am Ende jedes Jahres €20 500 und kann danach für €20 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €20 500S = €20 000n = 7r = 10%

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €15 000, €11 000, €11 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 500

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 10 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3% für €1 427 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 10P = €1 427YTM = 3%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 3% wird in 10 Jahren fällig und kostet €1 140. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 10P = €1 140

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €5 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 000 000 und Fremdkapital im Wert von €4 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 14%, die Kosten der Vorzugsaktien 6% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4%. Der Steuersatz beträgt 25%. Bestimme den WACC.

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €4 000 000r_e = 14%r_p = 6%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,3. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 25%, der risikolose Zinssatz 2% und die Marktrisikoprämie 6,5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e nach der Änderung.

β_L = 1,3D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1T = 25%r_f = 2%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 1 440 Stück zu je €24. Die variablen Kosten betragen €4 pro Stück und die Fixkosten €24 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 1 440p = €24v = €4F = €24 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €36 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €9 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 2 250 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €9 000p = €36v = €30Plan = 2 250

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 16186 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,06/12 = 0,005

N = m·n = 12·5 = 60

Endwert

FV = 12 000·(1 + 0,005)⁶⁰ = 12 000·1,349 = €16 186,20

Antwort

FV = €16 186,20

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 1562 €

Monatliche Rate

i = 0,0025, N = 60

A = 20 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁶⁰) = €359,37

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 60·359,4 − 20 000 = €1 562,43

Antwort

I = €1 562,43

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 10066 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

20 500·4,868 = 99 802,59

Barwert des Restwerts

20 000/1,949 = 10 263,16

NPV

NPV = −100 000 + 99 802,59 + 10 263,16 = €10 065,75

Antwort

NPV = €10 065,75

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 19,48 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

15 000·1,12² = 18 816,00

11 000·1,12¹ = 12 320,00

11 500·1,12⁰ = 11 500,00

TV = 42 636,00

MIRR

MIRR = (42 636,00/25 000)^1/3 − 1 = 19,48%

Antwort

MIRR = 19,48%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 8,006 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,03)⁻¹⁰ = €744,09

Kupon

C = (1427 − 744,09)/8,53 = €80,06

Kuponsatz

c = 80,06/1000 = 8,006%

Antwort

c = 8,006%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 1,483 %

Gleichung für die Rendite

€1 140 = €30·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰

Numerisch lösen

P(1%) = €1 189,43, P(2%) = €1 089,83

YTM = 1,483%

Antwort

YTM = 1,483%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,8 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €10 000 000

E/V = 0,5, P_s/V = 0,1, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,1·6% + 0,4·4%·(1 − 0,25) = 8,8%

Antwort

WACC = 8,8%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 14,86 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Das Beta entschulden

β_U = 1,3/(1 + 0,75·0,2) = 1,13

Beim neuen D/E wieder verschulden

β_L = 1,13·(1 + 0,75·1) = 1,978

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2% + 1,978·6,5% = 14,86%

Antwort

r_e = 14,86%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 6

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 1 440·(24 − 4) = €28 800

Betriebsergebnis

Π = 28 800 − 24 000 = €4 800

DOL

DOL = 28 800/4 800 = 6

Antwort

DOL = 6

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 33,33 %

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 9 000/6 = 1 500

Sicherheitsabstand

MS = (2 250 − 1 500)/2 250·100 = 33,33%

Antwort

MS = 33,33%

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