Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €3 000, 13 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 8 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €3 000i = 8%n = 13

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €150 000 wird über 30 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 20 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €150 0006% / 12N = 360k = 240

B = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €21 000, €21 000, €26 000. Die Kapitalkosten betragen 15 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 15%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 21 000CF₃ = 26 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €35 000, €19 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −50 000CF₁ = 35 000CF₂ = 19 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 7%YTM = 6%n = 5

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 4 Jahren fällig und kostet €950. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 4P = €950

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 14%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 0,8. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,25. Der Steuersatz beträgt 25,8%, der risikolose Zinssatz 2,5% und die Marktrisikoprämie 7%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 0,8D/E = 0,25T = 25,8%r_f = 2,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €24 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück. Die Fixkosten betragen €16 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €5 000 zu erzielen?

F = €16 000p = €24v = €20Gewinn = €5 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €15 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €12 pro Stück und Fixkosten von €6 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 2 400 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €6 000p = €15v = €12Plan = 2 400

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 23711 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3677)/0,08 = 7,904

Barwert

PV = 3 000·7,904 = €23 711,33

Antwort

PV = €23 711,33

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 81005 €

Monatliche Rate

i = 0,005, N = 360

A = 150 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁶⁰) = €899,33

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 360 − 240 = 120

B = 899,3·(1 − (1 + 0,005)⁻¹²⁰)/0,005 = €81 005,38

Antwort

B = €81 005,38

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −8765 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 21 000/1,15 = 18 260,87

CF₂/(1 + 0,15)² = 21 000/1,322 = 15 879,02

CF₃/(1 + 0,15)³ = 26 000/1,521 = 17 095,42

Addieren

NPV = €−8 764,69

Antwort

NPV = €−8 764,69

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 6,589 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(5%) = 1 020,41

NPV(10%) = −2 066,12

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 5 + 5·1 020,41/(1 020,41 − (−2 066,12)) = 6,653%

exakt: NPV(6,589%) = 0 → IRR = 6,589%

Antwort

IRR = 6,589%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1043 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €35,00, i = 0,03, N = 10

Barwert der Kupons

€35,00·(1 − 0,7441)/0,03 = €298,56

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7441 = €744,09

Kurs

P = €1 042,65

Antwort

P = €1 042,65

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 9,562 %

Gleichung für die Rendite

€950 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

Numerisch lösen

P(9%) = €967,60, P(10%) = €936,60

YTM = 9,562%

Antwort

YTM = 9,562%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,383 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·14% + 0,5·3,5%·(1 − 0,21) = 8,383%

Antwort

WACC = 8,383%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 9,139 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 0,8·(1 + 0,742·0,25) = 0,9484

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9484·7% = 9,139%

Antwort

r_e = 9,139%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 5250 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 24 − 20 = €4

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (16 000 + 5 000)/4 = 5 250

Antwort

Q = 5 250 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 16,67 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 6 000/3 = 2 000

Sicherheitsabstand

MS = (2 400 − 2 000)/2 400·100 = 16,67%

Antwort

MS = 16,67%

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