Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 2 Jahren.

PV = €5 0002% / 12n = 2

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €25 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 6 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €25 0006% / 12N = 60

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €15 000, €22 000, €12 000, €14 000. Die Kapitalkosten betragen 7,000000000000001 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 22 000CF₃ = 12 000CF₄ = 14 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 jeweils €26 000, €21 000, €22 500, €15 500. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 12 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 26 000CF₂ = 21 000CF₃ = 22 500CF₄ = 15 500

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 8% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 2,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 8%YTM = 2,5%n = 5

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 8% wird in 7 Jahren fällig und kostet €1 055. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%n = 7P = €1 055

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €3 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Sein WACC beträgt 8,17%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €3 000 000D = €3 000 000WACC = 8,17%r_d = 4,5%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €8 000 000 und Eigenkapitalkosten von 13%. Sein Fremdkapital besteht aus 8 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 5%, 10 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €1 125 notieren. Der Steuersatz beträgt 25,8%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €8 000 000r_e = 13%Anleihen: 8 000 × €1 125Kuponsatz = 5%n = 10T = 25,8%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €65 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €24 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?

F = €24 000p = €65v = €45Gewinn = €2 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €40 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück und Fixkosten von €16 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 1 000 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €16 000p = €40v = €20Plan = 1 000

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 5204 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/12 = 0,001667

N = m·n = 12·2 = 24

Endwert

FV = 5 000·(1 + 0,001667)²⁴ = 5 000·1,041 = €5 203,88

Antwort

FV = €5 203,88

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 3999 €

Monatliche Rate

i = 0,005, N = 60

A = 25 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻⁶⁰) = €483,32

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 60·483,3 − 25 000 = €3 999,20

Antwort

I = €3 999,20

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −6290 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 15 000/1,07 = 14 018,69

CF₂/(1 + 0,07)² = 22 000/1,145 = 19 215,65

CF₃/(1 + 0,07)³ = 12 000/1,225 = 9 795,57

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 14 000/1,311 = 10 680,53

Addieren

NPV = €−6 289,55

Antwort

NPV = €−6 289,55

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 19,97 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

26 000·1,12³ = 36 528,13

21 000·1,12² = 26 342,40

22 500·1,12¹ = 25 200,00

15 500·1,12⁰ = 15 500,00

TV = 103 570,53

MIRR

MIRR = (103 570,53/50 000)^1/4 − 1 = 19,97%

Antwort

MIRR = 19,97%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1257 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €40,00, i = 0,0125, N = 10

Barwert der Kupons

€40,00·(1 − 0,8832)/0,0125 = €373,82

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,8832 = €883,18

Kurs

P = €1 257,00

Antwort

P = €1 257,00

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,98 %

Gleichung für die Rendite

€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Numerisch lösen

P(6%) = €1 111,65, P(7%) = €1 053,89

YTM = 6,98%

Antwort

YTM = 6,98%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

Fremdkapitalanteil am WACC

0,5·4,5%·(1 − 0,258) = 1,669%

Eigenkapitalkosten

r_e = (8,17% − 1,669%)/0,5 = 13%

Antwort

r_e = 13%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,491 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

1125 = 50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + 1000/(1 + y)¹⁰

y = 3,497%

Marktwerte

D = 8 000·€1 125 = €9 000 000

V = €17 000 000, E/V = 0,4706, D/V = 0,5294

WACC

WACC = 0,4706·13% + 0,5294·3,497%·(1 − 0,258) = 7,491%

Antwort

WACC = 7,491%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1300 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 65 − 45 = €20

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (24 000 + 2 000)/20 = 1 300

Antwort

Q = 1 300 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 20 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 16 000/20 = 800

Sicherheitsabstand

MS = (1 000 − 800)/1 000·100 = 20%

Antwort

MS = 20%

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