Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €10 000 zu 4 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 12 Jahren.

PV = €10 000r = 4%t = 12

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du möchtest in 14 Jahren €20 000 haben. Du sparst am Ende jedes Monats denselben Betrag auf einem Konto mit 2,4 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die monatliche Einzahlung A.

FV = €20 0002,4% / 12N = 168

A = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €45 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €15 000, €22 000, €19 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 22 000CF₃ = 19 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 000, €8 000, €4 500. Projekt B kostet €22 000 und bringt €6 000, €9 000, €11 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 000, 8 000, 4 500B: −22 000, 6 000, 9 000, 11 500

r* = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 8 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 6%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 3% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 8y₀ = 3%y₁ = 3,5%

HPR = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% und wird in 3 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7%. Bestimme die Macaulay-Duration D in Jahren.

F = €1 000Kuponsatz = 3%n = 3YTM = 7%

D = Jahre

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €6 000 000 und Fremdkapital im Wert von €1 000 000. Sein WACC beträgt 9,77%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3% und der Steuersatz 21%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 9,77%r_d = 3%T = 21%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 5 000 000 Aktien zu je €8,50 und 5 000 Anleihen mit einem Kurs von je €960. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 6% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,8, der risikofreie Zinssatz 3% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,8r_f = 3%r_m = 8,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €32 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €12 pro Stück. Die Fixkosten betragen €10 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €6 000 zu erzielen?

F = €10 000p = €32v = €12Gewinn = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €49 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück und Fixkosten von €6 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 2 400 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €6 000p = €49v = €45Plan = 2 400

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 16161 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,04·12 = 0,48

e^0,48 = 1,616

Endwert

FV = 10 000·1,616 = €16 160,74

Antwort

FV = €16 160,74

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: A = 100,3 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·14 = 168

Einzahlung

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0,002/(1,399 − 1) = €100,28

Antwort

A = €100,28

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 4684 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 15 000/1,06 = 14 150,94

CF₂/(1 + 0,06)² = 22 000/1,124 = 19 579,92

CF₃/(1 + 0,06)³ = 19 000/1,191 = 15 952,77

Addieren

NPV = €4 683,63

Antwort

NPV = €4 683,63

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 6,366 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 6 000 − 11 000 = −5 000

ΔCF₂ = 9 000 − 8 000 = 1 000

ΔCF₃ = 11 500 − 4 500 = 7 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(6%) = 50,35

NPV_Δ(7%) = −85,37

r* = 6,366%

Antwort

r* = 6,366%

Probe: Bei 6,366% betragen beide Kapitalwerte €1 152,11.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 0,1877 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €60,00, i = 0,03, N = 8

€60,00·(1 − 0,7894)/0,03 + €1 000·0,7894 = €421,18 + €789,41 = €1 210,59

Verkaufspreis

C = €60,00, i = 0,035, N = 7

€60,00·(1 − 0,786)/0,035 + €1 000·0,786 = €366,87 + €785,99 = €1 152,86

Haltedauerrendite

HPR = (60 + 1 152,86 − 1 210,59)/1 210,59 = 0,1877%

Antwort

HPR = 0,1877%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: D = 2,908 Jahre

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Barwert jeder Zahlung

t = 1: 30/1,07 = 28,04, t·PV = 28,04

t = 2: 30/1,145 = 26,20, t·PV = 52,41

t = 3: 1030/1,225 = 840,79, t·PV = 2 522,36

Duration

P = 895,03

D = 2 602,80/895,03 = 2,908

Antwort

D = 2,908 Jahre

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 11 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Fremdkapitalanteil am WACC

0,1429·3%·(1 − 0,21) = 0,3386%

Eigenkapitalkosten

r_e = (9,77% − 0,3386%)/0,8571 = 11%

Antwort

r_e = 11%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 12,04 %

Marktwerte

E = 5 000 000·€8,50 = €42 500 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 3% + 1,8·5,5% = 12,9%

Gewichte

V = €47 300 000, E/V = 0,8985, D/V = 0,1015

WACC

WACC = 0,8985·12,9% + 0,1015·6%·(1 − 0,258) = 12,04%

Antwort

WACC = 12,04%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 800 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 32 − 12 = €20

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/20 = 800

Antwort

Q = 800 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 37,5 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 6 000/4 = 1 500

Sicherheitsabstand

MS = (2 400 − 1 500)/2 400·100 = 37,5%

Antwort

MS = 37,5%

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