Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Kreditkarte berechnet einen nominalen Zinssatz von 15 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme den effektiven Jahreszins EAR in Prozent.

r = 15%m = 12

EAR = %

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €12 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €12 000A = €1503,6% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €30 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €14 000, €14 000, €13 000, €11 000. Die Kapitalkosten betragen 12 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000CF₃ = 13 000CF₄ = 11 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €13 000, €13 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 13 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 7% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 3% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 7%YTM = 3%n = 10

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 15 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%) wird für €1 091 verkauft. Der Emittent kann sie in 5 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 080 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%P = €1 091Kündigungskurs = €1 080Kündigung in 5 Jahre

YTC = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €6 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Sein WACC beträgt 6,53%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 20%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €6 000 000D = €3 000 000WACC = 6,53%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Das Geschäft eines Unternehmens hat ein unverschuldetes Beta (Asset-Beta) von 1,1. Es plant einen Verschuldungsgrad D/E von 0,6. Der Steuersatz beträgt 20%, der risikolose Zinssatz 4% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e bei der neuen Kapitalstruktur.

β_U = 1,1D/E = 0,6T = 20%r_f = 4%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Unternehmen verkauft 3 000 Stück zu je €50. Die variablen Kosten betragen €30 pro Stück und die Fixkosten €20 000. Bestimme den Operating Leverage (Grad der operativen Hebelwirkung) DOL bei diesem Absatz.

Q = 3 000p = €50v = €30F = €20 000

DOL =

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft 1 880 Stück pro Monat zu je €8, mit variablen Kosten von €4 pro Stück und Fixkosten von €6 000 pro Monat. Die variablen Kosten steigen um €2 pro Stück, der Preis bleibt gleich. Wie viele Stück Q müssen jetzt pro Monat verkauft werden, um denselben Gewinn zu halten?

Q = 1 880p = €8v = €4 → €6F = €6 000

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: EAR = 16,08 %

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz pro Periode

r/m = 0,15/12 = 0,0125

Über ein Jahr aufzinsen

EAR = (1 + 0,0125)¹² − 1 = 1,161 − 1 = 16,08%

Antwort

EAR = 16,08%

Der effektive Jahreszins liegt immer über dem Nominalzins, wenn die Zinsen mehr als einmal im Jahr gutgeschrieben werden.

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 92 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0,003/150 = 0,76

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,76)/ln(1,003) = 91,62

Auf ganze Raten aufrunden

91 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 92

Antwort

N = 92 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 9905 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 14 000/1,12 = 12 500,00

CF₂/(1 + 0,12)² = 14 000/1,254 = 11 160,71

CF₃/(1 + 0,12)³ = 13 000/1,405 = 9 253,14

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 11 000/1,574 = 6 990,70

Addieren

NPV = €9 904,56

Antwort

NPV = €9 904,56

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 20,85 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(20%) = 208,33

NPV(25%) = −960,00

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 20 + 5·208,33/(208,33 − (−960,00)) = 20,89%

exakt: NPV(20,85%) = 0 → IRR = 20,85%

Antwort

IRR = 20,85%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 1343 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €35,00, i = 0,015, N = 20

Barwert der Kupons

€35,00·(1 − 0,7425)/0,015 = €600,90

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7425 = €742,47

Kurs

P = €1 343,37

Antwort

P = €1 343,37

Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 7,158 %

Gleichung für die Rendite

1091 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

y = 7%: €1 098,04

y = 8%: €1 054,45

YTC = 7,158%

Antwort

YTC = 7,158%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 7,001%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 7,995 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €9 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

Fremdkapitalanteil am WACC

0,3333·4,5%·(1 − 0,2) = 1,2%

Eigenkapitalkosten

r_e = (6,53% − 1,2%)/0,6667 = 7,995%

Antwort

r_e = 7,995%

8.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 12,14 %

Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), wobei β_U das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.

Verschuldetes Beta

β_L = 1,1·(1 + 0,8·0,6) = 1,628

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 4% + 1,628·5% = 12,14%

Antwort

r_e = 12,14%

9.Break-even-Analyse

Antwort: DOL = 1,5

Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.

Gesamter Deckungsbeitrag

CM = 3 000·(50 − 30) = €60 000

Betriebsergebnis

Π = 60 000 − 20 000 = €40 000

DOL

DOL = 60 000/40 000 = 1,5

Antwort

DOL = 1,5

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 3760 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Bisheriger Gewinn

Π = 1 880·(8 − 4) − 6 000 = €1 520

Neuer Deckungsbeitrag pro Stück

8 − 6 = €2

Stückzahl für denselben Gewinn

Q = (6 000 + 1 520)/2 = 3 760

Antwort

Q = 3 760 Stück

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