Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €5 000 zu 7 % pro Jahr bei stetiger Verzinsung an. Bestimme den Wert FV nach 8 Jahren.

PV = €5 000r = 7%t = 8

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Eine Hypothek von €150 000 wird über 25 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 2,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel ist direkt nach der Rate am Ende von Jahr 12 noch geschuldet? Bestimme die Restschuld B.

P = €150 0002,4% / 12N = 300k = 144

B = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Ein Projekt kostet heute €50 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 5 jeweils €11 000, €18 000, €19 500, €10 500, €17 500. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Nimm an, dass die Zahlungen gleichmäßig über jedes Jahr eingehen. Bestimme die dynamische Amortisationsdauer DPB in Jahren.

r = 8%CF₀ = −50 000CF₁ = 11 000CF₂ = 18 000CF₃ = 19 500CF₄ = 10 500CF₅ = 17 500

DPB = Jahre

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €6 500, €7 000, €7 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 5 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 4%YTM = 5%n = 5

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% in zwei Halbjahresraten und wird in 7 Jahren fällig. Sie wird für €887 verkauft. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM als Jahreszins (das Doppelte der Halbjahresrendite) in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4% (2×)n = 7P = €887

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €4 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 9%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 5% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 9%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 2 000 000 Aktien mit einem Kurs von €31,50; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €37 800 000. Es hat gerade eine Dividende von €1,80 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 3% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €18 900 000 und Kosten vor Steuern von 3%. Der Steuersatz beträgt 25,8%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.

N = 2 000 000P₀ = €31,50Buchwert des Eigenkapitals = €37 800 000D₀ = €1,80g = 3%D = €18 900 000r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €55 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €45 pro Stück. Die Fixkosten betragen €12 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €6 000 zu erzielen?

F = €12 000p = €55v = €45Gewinn = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft zwei Produkte. Produkt A kostet €13 bei variablen Kosten von €5; Produkt B kostet €20 bei variablen Kosten von €10. Sie werden in einem festen Mix von 3 Stück A auf je 2 Stück B verkauft. Die Fixkosten betragen €26 400 pro Monat. Bestimme die Gesamtzahl der Stück Q (A und B zusammen), die für die Gewinnschwelle nötig sind.

p_A = €13, v_A = €5p_B = €20, v_B = €10A : B = 3 : 2F = €26 400

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 8753 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Exponent

r·t = 0,07·8 = 0,56

e^0,56 = 1,751

Endwert

FV = 5 000·1,751 = €8 753,36

Antwort

FV = €8 753,36

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: B = 89093 €

Monatliche Rate

i = 0,002, N = 300

A = 150 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)⁻³⁰⁰) = €665,40

Barwert der verbleibenden Raten

Was noch geschuldet wird, muss genau durch die verbleibenden Raten getilgt werden.

N − k = 300 − 144 = 156

B = 665,4·(1 − (1 + 0,002)⁻¹⁵⁶)/0,002 = €89 093,30

Antwort

B = €89 093,30

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: DPB = 4,1 Jahre

Amortisationsdauer: die Zeit, bis die kumulierten Zahlungsüberschüsse die Anfangsinvestition zurückgezahlt haben. Man nimmt an, dass das Geld gleichmäßig über jedes Jahr eingeht, der letzte Teil ist also ein Bruchteil eines Jahres. Die statische Amortisationsdauer vernachlässigt den Zeitwert des Geldes; die dynamische Amortisationsdauer verwendet stattdessen die abgezinsten Zahlungen.

Abgezinste und kumulierte Zahlungen

Jahr 1: 11 000/1,08 = 10 185,19 → Σ = 10 185,19

Jahr 2: 18 000/1,166 = 15 432,10 → Σ = 25 617,28

Jahr 3: 19 500/1,26 = 15 479,73 → Σ = 41 097,01

Jahr 4: 10 500/1,36 = 7 717,81 → Σ = 48 814,83

Jahr 5: 17 500/1,469 = 11 910,21 → Σ = 60 725,03

Bruchteil des letzten Jahres

DPB = 4 + 1 185,17/11 910,21 = 4,1

Antwort

DPB = 4,1 Jahre

Die dynamische Amortisationsdauer ist immer länger als die statische (3,143 Jahre).

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 45,88 %

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(45%) = 108,25

NPV(50%) = −481,48

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 45 + 5·108,25/(108,25 − (−481,48)) = 45,92%

exakt: NPV(45,88%) = 0 → IRR = 45,88%

Antwort

IRR = 45,88%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 956,2 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €20,00, i = 0,025, N = 10

Barwert der Kupons

€20,00·(1 − 0,7812)/0,025 = €175,04

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,7812 = €781,20

Kurs

P = €956,24

Antwort

P = €956,24

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 6,001 %

Pro Periode

C = €20,00, N = 14

Numerisch lösen

i = 3% pro Halbjahr

YTM

YTM = 2·3% = 6,001%

Antwort

YTM = 6,001%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 6,836 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·9% + 0,4286·5%·(1 − 0,21) = 6,836%

Antwort

WACC = 6,836%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,349 %

Eigenkapitalkosten

D₁ = 1,8·1,03 = €1,85

r_e = 1,854/31,5 + 0,03 = 8,886%

Marktwerte

E = 2 000 000·€31,50 = €63 000 000

V = €81 900 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·8,886% + 0,2308·3%·(1 − 0,258) = 7,349%

Antwort

WACC = 7,349%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1800 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 55 − 45 = €10

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (12 000 + 6 000)/10 = 1 800

Antwort

Q = 1 800 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 3000 Stück

Gewinnschwelle bei einem Absatzmix: Werden Produkte in einem festen Verhältnis verkauft, verwende den gewichteten mittleren Deckungsbeitrag: Gewichte p − v jedes Produkts mit seinem Anteil an der Stückzahl. Stückzahl an der Gewinnschwelle = F/(gewichteter Deckungsbeitrag), wieder im Mixverhältnis aufgeteilt.

Deckungsbeiträge

cm_A = €8, cm_B = €10

Gewichteter Deckungsbeitrag

(3·8 + 2·10)/5 = €8,80

Stückzahl an der Gewinnschwelle

Q = 26 400/8,8 = 3 000

A: 1 800, B: 1 200

Antwort

Q = 3 000 Stück

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