Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du brauchst €5 000 in 7 Jahren. Ein Konto bringt 6 % pro Jahr bei vierteljährlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.

FV = €5 0006% / 4n = 7

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €25 000 zu 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €325 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €25 000A = €3253,6% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €20 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 4 diese Zahlungen: €9 000, €6 000, €8 000, €10 000. Die Kapitalkosten betragen 6 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 6%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 10 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €40 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €23 000, €16 500, €9 000. Projekt B kostet €45 000 und bringt €12 000, €20 000, €24 000. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −40 000, 23 000, 16 500, 9 000B: −45 000, 12 000, 20 000, 24 000

r* = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 4% und wird in 7 Jahren fällig. Ihre Rendite bis zur Fälligkeit ändert sich von 6% auf 5,5%. Um wie viel ΔP ändert sich der Anleihekurs?

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 7y₁ = 6%y₂ = 5,5%

ΔP = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 4% wird in 5 Jahren fällig und kostet €935. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4%n = 5P = €935

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €2 000 000 und Fremdkapital im Wert von €6 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 12%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 3,5% und der Steuersatz 30%. Bestimme den WACC.

E = €2 000 000D = €6 000 000r_e = 12%r_d = 3,5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat Eigenkapital mit einem Marktwert von €10 000 000 und Eigenkapitalkosten von 10%. Sein Fremdkapital besteht aus 4 000 Anleihen (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 6%, 5 Jahre Restlaufzeit), die jeweils bei €959 notieren. Der Steuersatz beträgt 20%. Bestimme den WACC, mit der Rendite bis zur Fälligkeit der Anleihen als Fremdkapitalkosten vor Steuern.

E = €10 000 000r_e = 10%Anleihen: 4 000 × €959Kuponsatz = 6%n = 5T = 20%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €26 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €18 pro Stück. Die Fixkosten betragen €40 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €20 000 zu erzielen?

F = €40 000p = €26v = €18Gewinn = €20 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €16 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €8 pro Stück und Fixkosten von €12 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 2 100 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €12 000p = €16v = €8Plan = 2 100

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 3295 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = 0,06/4 = 0,015

N = 4·7 = 28

Barwert

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,517 = €3 295,50

Antwort

PV = €3 295,50

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 88 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0,003/325 = 0,7692

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,7692)/ln(1,003) = 87,59

Auf ganze Raten aufrunden

87 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 88

Antwort

N = 88 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 8468 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 9 000/1,06 = 8 490,57

CF₂/(1 + 0,06)² = 6 000/1,124 = 5 339,98

CF₃/(1 + 0,06)³ = 8 000/1,191 = 6 716,95

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 10 000/1,262 = 7 920,94

Addieren

NPV = €8 468,44

Antwort

NPV = €8 468,44

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 7,07 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −45 000 − (−40 000) = −5 000

ΔCF₁ = 12 000 − 23 000 = −11 000

ΔCF₂ = 20 000 − 16 500 = 3 500

ΔCF₃ = 24 000 − 9 000 = 15 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(7%) = 21,13

NPV_Δ(8%) = −277,02

r* = 7,07%

Antwort

r* = 7,07%

Probe: Bei 7,07% betragen beide Kapitalwerte €3 206,78.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: ΔP = 26,4 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kurs bei der alten Rendite

C = €40,00, i = 0,06, N = 7

€40,00·(1 − 0,6651)/0,06 + €1 000·0,6651 = €223,30 + €665,06 = €888,35

Kurs bei der neuen Rendite

C = €40,00, i = 0,055, N = 7

€40,00·(1 − 0,6874)/0,055 + €1 000·0,6874 = €227,32 + €687,44 = €914,76

Änderung

ΔP = 914,76 − 888,35 = €26,40

Antwort

ΔP = €26,40

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 5,523 %

Gleichung für die Rendite

€935 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

P(5%) = €956,71, P(6%) = €915,75

YTM = 5,523%

Antwort

YTM = 5,523%

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,838 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75

WACC

WACC = 0,25·12% + 0,75·3,5%·(1 − 0,3) = 4,838%

Antwort

WACC = 4,838%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,78 %

Fremdkapitalkosten (YTM)

959 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 7%

Marktwerte

D = 4 000·€959 = €3 836 000

V = €13 836 000, E/V = 0,7228, D/V = 0,2772

WACC

WACC = 0,7228·10% + 0,2772·7%·(1 − 0,2) = 8,78%

Antwort

WACC = 8,78%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 7500 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 26 − 18 = €8

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (40 000 + 20 000)/8 = 7 500

Antwort

Q = 7 500 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 28,57 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 12 000/8 = 1 500

Sicherheitsabstand

MS = (2 100 − 1 500)/2 100·100 = 28,57%

Antwort

MS = 28,57%

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