Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €2 000 zu einem Nominalzins von 3 % pro Jahr mit monatlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 4 Jahren.

PV = €2 0003% / 12n = 4

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Ein Darlehen von €25 000 wird über 5 Jahre mit gleichen Monatsraten bei 5,4 % pro Jahr und monatlicher Verzinsung getilgt. Wie viel Zinsen I werden über die gesamte Laufzeit gezahlt?

P = €25 0005,4% / 12N = 60

I = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €17 000, €21 000, €15 000. Die Kapitalkosten betragen 8 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 17 000CF₂ = 21 000CF₃ = 15 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Projekt A kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €11 500, €7 500, €4 500. Projekt B kostet €22 000 und bringt €5 500, €8 500, €12 500. Bestimme den Schnittpunktzins (Fisher-Zins) r*, bei dem beide Projekte denselben Kapitalwert haben, in Prozent.

A: −20 000, 11 500, 7 500, 4 500B: −22 000, 5 500, 8 500, 12 500

r* = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Du kaufst eine Anleihe mit 6 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 4,5%), wenn ihre Rendite bis zur Fälligkeit 9% beträgt. Ein Jahr später, direkt nach Erhalt des ersten Kupons, verkaufst du sie bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8,5%. Bestimme deine Haltedauerrendite HPR in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 4,5%n = 6y₀ = 9%y₁ = 8,5%

HPR = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe notiert bei €910 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 7% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 7,1 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 50 Basispunkte sinkt.

P₀ = €910y = 7%D = 7,1Δy = −50 bp

P = €

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen ist finanziert mit Stammaktien im Wert von €6 000 000, Vorzugsaktien im Wert von €1 000 000 und Fremdkapital im Wert von €2 000 000. Die Eigenkapitalkosten betragen 12%, die Kosten der Vorzugsaktien 6,5% und die Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5%. Der Steuersatz beträgt 25,8%. Bestimme den WACC.

E = €6 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 6,5%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €29,00 und 10 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 3,5% und der Steuersatz 21%. Das Beta der Aktie ist 1,3, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 8,5%. Bestimme den WACC.

β = 1,3r_f = 1,5%r_m = 8,5%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €20 verkauft, bei variablen Kosten von €8 pro Stück. Die Fixkosten betragen €60 000 pro Monat, und der Gewinn wird mit 25 % besteuert. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um nach Steuern €18 000 zu verdienen?

p = €20v = €8F = €60 000T = 25%Gewinn nach Steuern = €18 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €9 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €4 pro Stück und Fixkosten von €7 500 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 2 400 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €7 500p = €9v = €4Plan = 2 400

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 2255 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·4 = 48

Endwert

FV = 2 000·(1 + 0,0025)⁴⁸ = 2 000·1,127 = €2 254,66

Antwort

FV = €2 254,66

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: I = 3583 €

Monatliche Rate

i = 0,0045, N = 60

A = 25 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰) = €476,38

Gesamtzinsen

I = N·A − P = 60·476,4 − 25 000 = €3 582,56

Antwort

I = €3 582,56

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −14348 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 17 000/1,08 = 15 740,74

CF₂/(1 + 0,08)² = 21 000/1,166 = 18 004,12

CF₃/(1 + 0,08)³ = 15 000/1,26 = 11 907,48

Addieren

NPV = €−14 347,66

Antwort

NPV = €−14 347,66

Der Kapitalwert ist negativ, das Projekt verdient also weniger als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: r* = 5,655 %

Schnittpunktzins (Fisher-Zins): der Kalkulationszins, bei dem zwei Projekte denselben Kapitalwert haben. Er ist der interne Zinsfuß der Differenz ihrer Zahlungen (B − A). Darunter hat das Projekt mit den späteren, größeren Zahlungen den höheren Kapitalwert; darüber gewinnt das andere.

Differenz der Zahlungen

ΔCF₀ = −22 000 − (−20 000) = −2 000

ΔCF₁ = 5 500 − 11 500 = −6 000

ΔCF₂ = 8 500 − 7 500 = 1 000

ΔCF₃ = 12 500 − 4 500 = 8 000

Interner Zinsfuß der Differenz

NPV_Δ(5%) = 103,44

NPV_Δ(6%) = −53,43

r* = 5,655%

Antwort

r* = 5,655%

Probe: Bei 5,655% betragen beide Kapitalwerte €1 418,70.

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: HPR = 11,18 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Kaufpreis

C = €45,00, i = 0,09, N = 6

€45,00·(1 − 0,5963)/0,09 + €1 000·0,5963 = €201,87 + €596,27 = €798,13

Verkaufspreis

C = €45,00, i = 0,085, N = 5

€45,00·(1 − 0,665)/0,085 + €1 000·0,665 = €177,33 + €665,05 = €842,37

Haltedauerrendite

HPR = (45 + 842,37 − 798,13)/798,13 = 11,18%

Antwort

HPR = 11,18%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 940,2 €

Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Modifizierte Duration

D_mod = 7,1/1,07 = 6,636

Geschätzte Kursänderung

%ΔP ≈ −6,636·(−0,005) = 3,318%

P ≈ 910·(1 + 0,03318) = €940,19

Antwort

P = €940,19

Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 9,464 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = 6 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €9 000 000

E/V = 0,6667, P_s/V = 0,1111, D/V = 0,2222

WACC

WACC = 0,6667·12% + 0,1111·6,5% + 0,2222·4,5%·(1 − 0,258) = 9,464%

Antwort

WACC = 9,464%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,517 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€29,00 = €29 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,3·7% = 10,6%

Gewichte

V = €39 500 000, E/V = 0,7342, D/V = 0,2658

WACC

WACC = 0,7342·10,6% + 0,2658·3,5%·(1 − 0,21) = 8,517%

Antwort

WACC = 8,517%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 7000 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Nötiger Gewinn vor Steuern

18 000/(1 − 0,25) = €24 000

Benötigte Stückzahl

Q = (60 000 + 24 000)/12 = 7 000

Antwort

Q = 7 000 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 37,5 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 7 500/5 = 1 500

Sicherheitsabstand

MS = (2 400 − 1 500)/2 400·100 = 37,5%

Antwort

MS = 37,5%

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