Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Eine Rente zahlt am Ende jedes Jahres €2 000, 10 Jahre lang. Der Zinssatz beträgt 8 % pro Jahr. Bestimme den Barwert PV der Rente.

A = €2 000i = 8%n = 10

PV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du leihst dir €5 000 zu 4,2 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung und zahlst am Ende jedes Monats €150 zurück. Wie viele Monate dauert es, bis das Darlehen getilgt ist (die letzte Rate darf kleiner sein)? Gib die Anzahl der Raten N an.

P = €5 000A = €1504,2% / 12

N = Raten

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Investition von €60 000 bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 diese Zahlungen: €27 000, €28 000, €17 000. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 27 000CF₂ = 28 000CF₃ = 17 000

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €25 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 €16 000, €10 000, €16 500. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.

CF₀ = −25 000CF₁ = 16 000CF₂ = 10 000CF₃ = 16 500

IRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 3% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 11 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 8% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.

F = €1 000Kuponsatz = 3%YTM = 8%n = 11

P = €

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit 16 Jahren Restlaufzeit (Nennwert €1 000, jährlicher Kupon 8%) wird für €1 202 verkauft. Der Emittent kann sie in 5 Jahren zu einem Kündigungskurs von €1 080 kündigen. Bestimme die Rendite bis zur Kündigung YTC in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 8%P = €1 202Kündigungskurs = €1 080Kündigung in 5 Jahre

YTC = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Seine Eigenkapitalkosten betragen 10%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 21%. Bestimme den WACC.

E = €10 000 000D = €5 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien mit einem Kurs von €14,50; der Buchwert seines Eigenkapitals beträgt €5 800 000. Es hat gerade eine Dividende von €0,60 pro Aktie gezahlt, und die Dividenden wachsen um 2% pro Jahr. Sein Fremdkapital hat einen Marktwert von €11 600 000 und Kosten vor Steuern von 3%. Der Steuersatz beträgt 25,8%. Bestimme den WACC, mit dem Dividendenwachstumsmodell für die Eigenkapitalkosten.

N = 1 000 000P₀ = €14,50Buchwert des Eigenkapitals = €5 800 000D₀ = €0,60g = 2%D = €11 600 000r_d = 3%T = 25,8%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €34 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €30 pro Stück. Die Fixkosten betragen €2 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?

F = €2 000p = €34v = €30Gewinn = €2 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Produkt wird für €32 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €20 pro Stück und Fixkosten von €6 000 pro Jahr. Geplant ist ein Absatz von 630 Stück. Bestimme den Sicherheitsabstand MS in Prozent des geplanten Absatzes.

F = €6 000p = €32v = €20Plan = 630

MS = %

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: PV = 13420 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Rentenbarwertfaktor

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,4632)/0,08 = 6,71

Barwert

PV = 2 000·6,71 = €13 420,16

Antwort

PV = €13 420,16

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: N = 36 Raten

Die Rentenformel umstellen

i = 0,0035

(1 + i)^−N = 1 − 5 000·0,0035/150 = 0,8833

Mit Logarithmen lösen

N = −ln(0,8833)/ln(1,004) = 35,51

Auf ganze Raten aufrunden

35 volle Raten lassen eine kleine Restschuld, die die letzte, kleinere Rate tilgt.

N = 36

Antwort

N = 36 Raten

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = 458,3 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert jeder Zahlung

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 27 000/1,1 = 24 545,45

CF₂/(1 + 0,1)² = 28 000/1,21 = 23 140,50

CF₃/(1 + 0,1)³ = 17 000/1,331 = 12 772,35

Addieren

NPV = €458,30

Antwort

NPV = €458,30

Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: IRR = 32,1 %

Den IRR eingrenzen

Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.

NPV(30%) = 735,09

NPV(35%) = −954,88

Eingrenzen

Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.

IRR ≈ 30 + 5·735,09/(735,09 − (−954,88)) = 32,17%

exakt: NPV(32,1%) = 0 → IRR = 32,1%

Antwort

IRR = 32,1%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: P = 638,7 €

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Pro Periode

C = €15,00, i = 0,04, N = 22

Barwert der Kupons

€15,00·(1 − 0,422)/0,04 = €216,77

Barwert des Nennwerts

€1 000·0,422 = €421,96

Kurs

P = €638,72

Antwort

P = €638,72

Die Rendite liegt über dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe unter pari.

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTC = 4,812 %

Gleichung für die Rendite

1202 = 80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1080/(1 + y)⁵

Numerisch lösen

y = 4%: €1 243,83

y = 5%: €1 192,57

YTC = 4,812%

Antwort

YTC = 4,812%

Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 6,001%. Anleger in einer Anleihe über pari rechnen mit einer Kündigung, daher ist die niedrigere Rendite bis zur Kündigung die realistischere.

7.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 8,247 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €15 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10% + 0,3333·6%·(1 − 0,21) = 8,247%

Antwort

WACC = 8,247%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 4,445 %

Eigenkapitalkosten

D₁ = 0,6·1,02 = €0,61

r_e = 0,612/14,5 + 0,02 = 6,221%

Marktwerte

E = 1 000 000·€14,50 = €14 500 000

V = €26 100 000, E/V = 0,5556, D/V = 0,4444

WACC

WACC = 0,5556·6,221% + 0,4444·3%·(1 − 0,258) = 4,445%

Antwort

WACC = 4,445%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 1000 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 34 − 30 = €4

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (2 000 + 2 000)/4 = 1 000

Antwort

Q = 1 000 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: MS = 20,63 %

Break-even-Menge

Q = F/(p − v) = 6 000/12 = 500

Sicherheitsabstand

MS = (630 − 500)/630·100 = 20,63%

Antwort

MS = 20,63%

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