Investition und Finanzierung: Lernpaket

Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.

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1Formeln und Methoden

Zeitwert des Geldes

Endwert: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Barwert: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Mehrere Perioden pro Jahr: i = r/m, N = m·n
Rente, Barwert: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Rente, Endwert: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Methode

Zeichne einen Zeitstrahl mit jeder Zahlung und ihrem Zeitpunkt.
Passe den Zinssatz an die Periode an: ein Monatszins für monatliche Zahlungen.
Verwende FV = PV·(1 + i)ⁿ für Einzelbeträge und die Rentenformeln für gleich hohe Zahlungen.
Prüfe Vorzeichen und Größenordnung des Ergebnisses.

Kapitalwert & interner Zinsfuß

Kapitalwert: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Gleiche Zahlungen: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Interner Zinsfuß: das r, bei dem NPV = 0
Entscheidung: annehmen, wenn NPV > 0 (oder IRR > geforderte Rendite)

Methode

Liste alle Zahlungen mit ihrem Jahr auf; die Investition in Jahr 0 ist negativ.
Zinse jede Zahlung ab: CF_t/(1 + r)^t.
Addiere sie zum Kapitalwert (NPV). Positiv bedeutet, dass das Projekt mehr als r erwirtschaftet.
Für den internen Zinsfuß (IRR) suchst du durch Probieren oder Interpolation den Zinssatz, bei dem der Kapitalwert null ist.

Anleihekurs & Rendite

Anleihekurs: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Halbjährlich: C/2, y/2 und 2n Perioden
Laufende Rendite: C/P
Kurs und Rendite: Rendite steigt → Kurs fällt

Methode

Bestimme den Kupon pro Periode und die Rendite pro Periode.
Kurs = Barwert der Kupons (eine Rente) + Barwert des Nennwerts.
Bei halbjährlichen Kupons verwendest du den halben Kupon, die halbe Rendite und die doppelte Anzahl Perioden.
Kontrolle: Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, liegt der Kurs unter dem Nennwert.

CAPM & WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Unternehmenswert: V = E + D

Break-even-Analyse

Deckungsbeitrag: CM = p − v
Break-even-Menge: Q_BE = FC/(p − v)
Zielgewinn: Q = (FC + profit)/(p − v)
Gewinn: π = (p − v)·Q − FC
Sicherheitsabstand: (Q − Q_BE)/Q

2Übungsaufgaben

1.Zeitwert des GeldesMittel

Du legst €3 000 zu einem Nominalzins von 2 % pro Jahr mit vierteljährlicher Verzinsung an. Bestimme den Wert FV der Anlage nach 6 Jahren.

PV = €3 0002% / 4n = 6

FV = €

2.Zeitwert des GeldesSchwer

Du sparst 19 Jahre lang am Ende jedes Monats €250. Das Konto bringt 4,8 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel hast du am Ende gespart? Bestimme FV.

A = €2504,8% / 12N = 228

FV = €

3.Kapitalwert & interner ZinsfußMittel

Eine Maschine kostet heute €100 000. Sie erwirtschaftet 5 Jahre lang am Ende jedes Jahres €24 000 und kann danach für €10 000 verkauft werden. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.

C₀ = €100 000CF = €24 000S = €10 000n = 5r = 10%

NPV = €

4.Kapitalwert & interner ZinsfußSchwer

Ein Projekt kostet €20 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 3 jeweils €9 000, €11 500, €9 000. Die Zahlungen können zu den Kapitalkosten von 8 % wieder angelegt werden. Bestimme den modifizierten internen Zinsfuß MIRR in Prozent.

r = 8%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 11 500CF₃ = 9 000

MIRR = %

5.Anleihekurs & RenditeMittel

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 wird in 13 Jahren fällig und zahlt jährliche Kupons. Sie wird bei einer Rendite bis zur Fälligkeit von 3,5% für €1 052 verkauft. Bestimme den Kuponsatz c in Prozent.

F = €1 000n = 13P = €1 052YTM = 3,5%

c = %

6.Anleihekurs & RenditeSchwer

Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 und einem jährlichen Kupon von 6% wird in 3 Jahren fällig und kostet €1 040. Bestimme ihre Rendite bis zur Fälligkeit YTM in Prozent.

F = €1 000Kuponsatz = 6%n = 3P = €1 040

YTM = %

7.CAPM & WACCMittel

Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €10 000 000 und Fremdkapital im Wert von €3 000 000. Sein WACC beträgt 11%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 6% und der Steuersatz 28%. Bestimme die Eigenkapitalkosten r_e.

E = €10 000 000D = €3 000 000WACC = 11%r_d = 6%T = 28%

r_e = %

8.CAPM & WACCSchwer

Ein Unternehmen hat 1 000 000 Aktien zu je €46,50 und 20 000 Anleihen mit einem Kurs von je €1 050. Die Fremdkapitalkosten vor Steuern betragen 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Das Beta der Aktie ist 1,8, der risikofreie Zinssatz 1,5% und die Marktrendite 6%. Bestimme den WACC.

β = 1,8r_f = 1,5%r_m = 6%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

9.Break-even-AnalyseMittel

Ein Produkt wird für €26 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €18 pro Stück. Die Fixkosten betragen €20 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €6 000 zu erzielen?

F = €20 000p = €26v = €18Gewinn = €6 000

Q = Stück

10.Break-even-AnalyseSchwer

Ein Unternehmen verkauft 2 500 Stück pro Monat zu je €27, mit variablen Kosten von €25 pro Stück und Fixkosten von €4 000 pro Monat. Die variablen Kosten steigen um €1 pro Stück, der Preis bleibt gleich. Wie viele Stück Q müssen jetzt pro Monat verkauft werden, um denselben Gewinn zu halten?

Q = 2 500p = €27v = €25 → €26F = €4 000

Q = Stück

3Lösungen

1.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 3381 €

Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)ⁿ. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.

Zinssatz und Anzahl der Perioden

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·6 = 24

Endwert

FV = 3 000·(1 + 0,005)²⁴ = 3 000·1,127 = €3 381,48

Antwort

FV = €3 381,48

2.Zeitwert des Geldes

Antwort: FV = 92798 €

Monatszins und Anzahl der Einzahlungen

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·19 = 228

Endwert der Einzahlungen

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,485 − 1)/0,004 = €92 798,24

Antwort

FV = €92 798,24

Du hast selbst €57 000 eingezahlt; der Rest sind Zinsen.

3.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: NPV = −2812 €

Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.

Barwert der jährlichen Zahlungen

24 000·3,791 = 90 978,88

Barwert des Restwerts

10 000/1,611 = 6 209,21

NPV

NPV = −100 000 + 90 978,88 + 6 209,21 = −€2 811,90

Antwort

NPV = −€2 811,90

4.Kapitalwert & interner Zinsfuß

Antwort: MIRR = 16,86 %

Modifizierter interner Zinsfuß: Zinse jede Einzahlung mit dem Wiederanlagezins (meist den Kapitalkosten) bis zum Projektende auf, um den Endwert TV zu erhalten. Der MIRR ist der Zinssatz, der die Anfangsinvestition in TV überführt: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Endwert der Einzahlungen

9 000·1,08² = 10 497,60

11 500·1,08¹ = 12 420,00

9 000·1,08⁰ = 9 000,00

TV = 31 917,60

MIRR

MIRR = (31 917,60/20 000)^1/3 − 1 = 16,86%

Antwort

MIRR = 16,86%

5.Anleihekurs & Rendite

Antwort: c = 4,005 %

Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.

Barwert des Nennwerts

1000·(1 + 0,035)⁻¹³ = €639,40

Kupon

C = (1052 − 639,40)/10,3 = €40,05

Kuponsatz

c = 40,05/1000 = 4,005%

Antwort

c = 4,005%

6.Anleihekurs & Rendite

Antwort: YTM = 4,544 %

Gleichung für die Rendite

€1 040 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

Numerisch lösen

P(4%) = €1 055,50, P(5%) = €1 027,23

YTM = 4,544%

Antwort

YTM = 4,544%

7.CAPM & WACC

Antwort: r_e = 13 %

Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).

Gewichte

V = €13 000 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

Fremdkapitalanteil am WACC

0,2308·6%·(1 − 0,28) = 0,9969%

Eigenkapitalkosten

r_e = (11% − 0,9969%)/0,7692 = 13%

Antwort

r_e = 13%

8.CAPM & WACC

Antwort: WACC = 7,652 %

Marktwerte

E = 1 000 000·€46,50 = €46 500 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Eigenkapitalkosten (CAPM)

r_e = 1,5% + 1,8·4,5% = 9,6%

Gewichte

V = €67 500 000, E/V = 0,6889, D/V = 0,3111

WACC

WACC = 0,6889·9,6% + 0,3111·4,5%·(1 − 0,258) = 7,652%

Antwort

WACC = 7,652%

9.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 3250 Stück

Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).

Deckungsbeitrag pro Stück

p − v = 26 − 18 = €8

Menge für den Zielgewinn

Q = (F + Gewinn)/(p − v) = (20 000 + 6 000)/8 = 3 250

Antwort

Q = 3 250 Stück

10.Break-even-Analyse

Antwort: Q = 5000 Stück

Bisheriger Gewinn

Π = 2 500·(27 − 25) − 4 000 = €1 000

Neuer Deckungsbeitrag pro Stück

27 − 26 = €1

Stückzahl für denselben Gewinn

Q = (4 000 + 1 000)/1 = 5 000

Antwort

Q = 5 000 Stück

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