Formelsammlungen, die wichtigsten Lösungsschritte zu jedem Thema und 10 Übungsaufgaben, mit vollständigen Lösungen am Ende.
Du brauchst €10 000 in 3 Jahren. Ein Konto bringt 6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Wie viel musst du heute einzahlen? Bestimme den Barwert PV.
Ein Darlehen von €150 000 wird über 30 Jahre in gleichen Monatsraten zurückgezahlt. Der Zinssatz beträgt 3,6 % pro Jahr bei monatlicher Verzinsung. Bestimme die Monatsrate A.
Ein Projekt kostet heute €250 000. Es erwirtschaftet am Ende des ersten Jahres €29 000, danach wächst der Zahlungsüberschuss für immer um 1 % pro Jahr. Die Kapitalkosten betragen 10 %. Bestimme den Kapitalwert NPV.
Ein Projekt kostet €10 000 und bringt am Ende der Jahre 1 bis 2 €7 000, €4 000. Bestimme seinen internen Zinsfuß IRR in Prozent.
Eine Anleihe mit einem Nennwert von €1 000 zahlt einen jährlichen Kupon von 6% in zwei halbjährlichen Raten und wird in 10 Jahren fällig. Die Rendite bis zur Fälligkeit beträgt 5,5% pro Jahr. Bestimme den Kurs P der Anleihe.
Eine Anleihe notiert bei €915 mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 5% (jährliche Verzinsung) und einer Macaulay-Duration von 8,1 Jahren. Schätze mit der modifizierten Duration den neuen Kurs P, wenn die Rendite um 25 Basispunkte steigt.
Ein Unternehmen hat Eigenkapital im Wert von €5 000 000 und Fremdkapital im Wert von €5 000 000. Sein WACC beträgt 6,17%, seine Fremdkapitalkosten vor Steuern 4,5% und der Steuersatz 25,8%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re.
Die Aktien eines Unternehmens haben beim aktuellen Verschuldungsgrad D/E von 0,2 ein Beta von 1,4. Es plant, den Verschuldungsgrad auf 1,25 zu erhöhen. Der Steuersatz beträgt 21%, der risikolose Zinssatz 3% und die Marktrisikoprämie 5%. Bestimme die Eigenkapitalkosten re nach der Änderung.
Ein Produkt wird für €24 pro Stück verkauft, bei variablen Kosten von €4 pro Stück. Die Fixkosten betragen €20 000 pro Monat. Wie viele Stück Q müssen pro Monat verkauft werden, um einen Gewinn von €2 000 zu erzielen?
Ein Unternehmen verkauft 2 000 Stück zu je €42, mit variablen Kosten von €30 pro Stück und Fixkosten von €9 600. Um wie viel Prozent %ΔΠ ändert sich das Betriebsergebnis, wenn die Absatzmenge um 8 % steigt?
Antwort: PV = 8356 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Antwort: A = 682 €
Zeitwert des Geldes: Geld heute ist mehr wert als derselbe Betrag später, weil es Zinsen bringen kann. Bei einem Zinssatz i pro Periode wächst ein Betrag auf FV = PV·(1 + i)n. Eine Reihe gleicher Zahlungen (eine Annuität) wird bewertet, indem man alle Zahlungen aufsummiert; daraus ergeben sich die Rentenformeln.
Der Barwert von N gleichen Raten A ist A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Setze ihn gleich dem Darlehen und löse nach A auf.
Antwort: NPV = 72222 €
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert ist positiv, das Projekt verdient also mehr als die geforderte Rendite.
Antwort: IRR = 7,284 %
Kapitalwert: Zinse jeden Zahlungsstrom mit der geforderten Rendite r auf heute ab und addiere alle: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Ein Projekt mit NPV > 0 verdient mehr als r und schafft Wert. Der interne Zinsfuß (IRR) ist der Zinssatz, bei dem NPV = 0 ist.
Der Kapitalwert sinkt mit steigendem Zins, also liegt der IRR zwischen einem Zinssatz mit positivem und einem mit negativem Kapitalwert.
Lineare Interpolation liefert eine erste Schätzung; Wiederholen (oder die IRR-Funktion eines Rechners) liefert den genauen Zinssatz.
Antwort: P = 1038 €
Anleihebewertung: Der Kurs einer Anleihe ist der Barwert ihrer Zahlungen, abgezinst mit der Rendite bis zur Fälligkeit (YTM): Die Kupons bilden eine Annuität, und der Nennwert wird bei Fälligkeit zurückgezahlt. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Liegt die Rendite über dem Kuponsatz, notiert die Anleihe unter dem Nennwert, und umgekehrt.
Die Rendite liegt unter dem Kuponsatz, also notiert die Anleihe über pari.
Antwort: P = 897,4 €
Duration: Die Macaulay-Duration ist der gewichtete mittlere Zeitpunkt, zu dem eine Anleihe ihre Zahlungen leistet, mit den Barwerten der Zahlungen als Gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. Die modifizierte Duration D/(1 + y) schätzt die prozentuale Kursänderung bei einer kleinen Renditeänderung: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Die Duration ist eine lineare Schätzung; bei großen Renditeänderungen macht die Konvexität den tatsächlichen Kurs etwas höher.
Antwort: re = 9,001 %
Kapitalkosten: Das CAPM liefert die Rendite, die Aktionäre fordern: re = rf + β·(rm − rf). Die gewichteten durchschnittlichen Kapitalkosten mischen Eigen- und Fremdkapital nach ihren Marktwerten: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), mit V = E + D. Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, daher der Faktor (1 − T).
Antwort: re = 15,01 %
Levered Beta (Hamada): Fremdkapital macht das Eigenkapital riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), wobei βU das Beta des Geschäfts ohne Fremdkapital ist. Um ein Beta auf eine andere Kapitalstruktur zu übertragen, entschulde es zuerst und verschulde es dann beim neuen D/E wieder.
Antwort: Q = 1100 Stück
Kosten-Volumen-Gewinn: Jede verkaufte Einheit bringt einen Deckungsbeitrag, Preis minus variable Stückkosten. Gewinn = Q·(p − v) − F, wobei F die Fixkosten sind. Am Break-even-Punkt ist der Gewinn null, also Q = F/(p − v).
Antwort: %ΔΠ = 13,33 %
Operating Leverage: Fixkosten lassen den Gewinn stärker reagieren als den Umsatz. Der Grad der operativen Hebelwirkung DOL = Deckungsbeitrag/Betriebsergebnis gibt an, dass eine Absatzänderung von 1 % den Gewinn um DOL % ändert. Er ist knapp über der Gewinnschwelle sehr hoch und sinkt mit wachsendem Absatz.
Probe: neuer Gewinn = 2 160·12 − 9 600 = €16 320,00.
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